105年 - [無官方正解]105 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147247

5. 若有兩個彼此獨立的隨機變數 x 以及 y，以下何者為真？(此題僅需選出正確選項)(10%) (A) \( E[x + y] = E[x] + E[y] \) (B) \( E[(x - y)^2] = E[x^2] + E[y^2] \) (C) \( E[xy] = 0 \) (D) \( E[xy] = E[x]E[y] \)

1. \( F_{x}(x) \) is a cumulative distribution function (cdf). Is it true that \( 0 \leq F_{x}(x) \leq 1 \)? (Please answer yes or no) (5%).

(a) Find the cdf of \( X \).

(b) Plot the cdf of \( X \).

(c) Find the probability of the event \( \{|X - 0.5| < 1\} \).

(d) Find the expected value of \( X \).

(e) Find the variance of \( X \).

(a) Find the expected value of \( Y \).

(b) Find the variance of \( Y \).

(a) Find c.

(b) Find the cdf of \( X \)

6. 若有兩個獨立之隨機變數 x 以及 y 都為 Bernoulli distribution，他們的 pmf 分別為 $$p(x) = \begin{cases} a \text{ for } x=1 \\ 1-a \text{ for } x=0 \end{cases} \text{ 以及 } p(y) = \begin{cases} b \text{ for } y=1 \\ 1-b \text{ for } y=0 \end{cases}$$ 求兩隨機變數 z = x + y 以及 h = xy 之機率分佈，也就是 p(z) 及 p(h)。此題計算過程不計分，謄寫答案即可。(10%)

7. 若一桶子裡面有 10 顆球，形狀大小都一樣，3 顆為白色，7 顆為黑色，人可以伸手至桶內一次抽出一球，但無法看見桶內球之顏色，抽出球之後必須將球再放回桶內充分混和後才可抽下一顆球，若抽中某顆球的機率皆為均等，試問在連續抽出 5 顆球的情況下，抽出 3 白球的機率為何？(本題需要計算過程)(10%)

8. 若每次革命成功與否為彼此獨立的事件，假設每次革命成功的機率是 \( p \) ，請問革命失敗 \( k - 1 \) 次(\( k \geq 1 \))後才成功的機率為多少？平均要第幾次革命才會成功？(本題需要計算過程)(10%)

9. 請敘述如何用程式語言產生出以下的 categorical distribution:
$p(x) = \begin{cases} 0.1 \text{ for } x=a \\ 0.2 \text{ for } x=b \\ 0.3 \text{ for } x=c \\ 0.4 \text{ for } x=d \end{cases}$
注意：不須將某一程式語言之程式碼寫出，僅需要將方法或虛擬程式碼(pseudo code)寫出。(10%)