114年 - 114 財團法人大學入學考試中心基金會_學科能力測驗試題：數學A#125189

1. 不透明袋中有藍、綠色球各若干顆，且球上皆有1 或 2 的編號，其顆數如下表，例如標有1 號的藍色球有2 顆。

從此袋中隨機抽取一球(每顆球被抽到的機率相等)，若已知抽到藍色球的事件與抽到 1 號球的事件互相獨立，試問 k 值為何？ (A) 　2 (B) 　3 (C) 　4 (D) 　5 (E) 　6

2. 坐標平面上， P ( a,0) 為 x 軸上一點，其中 a > 0 。令 L₁、L₂ 為通過 P 點，斜率分別為的直線。已知 L₁、 L₂ 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為3，試問 a 值為何？ (A) 　3√2 (B) 　6 (C) 　6√2 (D) 　9 (E) 　8√2

3. 某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演 5 個、小提琴表演 4 個、歌唱表演 3 個等三類表演 共 12 個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴 之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？ (A) 5! ×4! ×3!  (B) 2×5!× 4! ×3!  (C)3× 5!× 4! ×3! (D) 4× 5!× 4! ×3!  (E) 6 ×5!× 4! ×3! 

4. 坐標平面上， x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 y= log₂x 、 x 軸與直線所圍有界區域的內部( 不含邊界 )共有多少個格子點？ (A) 88 (B) 89 (C)90 (D)91 (E) 92

5. 設0≤θ≤2π 。 已 知 所 有 滿 足 sin2θ>sinθ 且 cos2θ>cosθ的θ可表為 aπ<θ<bπ 其 中 a,b 為實數 ， 試問 b−a 值為何 ？ (A) (B) (C) (D) (E) 　1

6. 坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量。 已知=  (2, -1,0)， 且 = ( -1,2,3) 。 試問由所張出的平行六面體之體積為何 ？ (A) 　2√5 (B) 　5√2 (C) 　2√10 (D) 　4√5 (E) 　4√10

7. 已知數列滿足(對任意正整數 n 都成立)且 a₁ = 2 。令數列滿足 。試選出正確的選項。 (A) a₂ = 2 (B) (C) 數列是公比為 的等比數列 (D) 對於任意正整數 n， 皆為正整數 (E)

8. 考慮坐標平面上滿足方程式= 的點 (x ,y ) ，試選出正確的選項。 (A) 當 x = 3 時，滿足此方程式的解有相異 2 個 (B) 若點 (a ,b )  滿足此方程式，則點 (-a ,-b ) 也滿足此方程式 (C) 所有可能的點 P ( x, y) 構成的圖形為一個圓 (D) 點 P (x , y) 可能在直線 x+ y  = 4 上 (E) 對於所有可能的點 P ( x, y) ，其 x- y  的最大值為1+2√2 

9. 設 b 、 c 為實數。已知二次方程式x²+bx+c= 0 有實根，但二次方程式x²+(b+2)x+c=0 沒有實根。試選出正確的選項。 (A) c < 0 (B) b < 0 (C) x²+(b+1)x+c=0 有實根 (D)x²+(b+2)x-c = 0 有實根 (E)x²+(b-2)x+c= 0 有實根

10. 令 Γ 為坐標平面上 y x = sinπ 在0 ≤x≤3內之函數圖形。一水平直線 L  : y=k 與 Γ 相交， 其中三交點P( x₁,k ), Q(x₂ ,k ), R(x₃ , k) 滿足 x1< x₂<1<z₃ 。試選出正確的選項。 (A) k > 0 (B) L 與 Γ 恰有 3 個交點 (C) x₁+x₂<1 (D) 若  ，則(E) L 與 Γ 所有交點的 x 坐標之和大於5

11. 在 ΔABC 中， 。令中點為 D，P 為 ∠ABC 之角平分線與之交點， 如圖所示。試選出正確的選項。
(A) (B) (C) (D)(E)

12. 某種合金由 甲 和乙兩種金屬組成 ，某生 想知道其中金 屬比例與 合金的波長關係。 他做實驗測量「甲占比為 x% 的合金所對應的波長 y (單位：奈米)」，並將得到的 20 筆數據 ， k =1, ,20，在 xy 平面上標出對應的點，其迴歸直線(最適直線)為 y =21.3X-40 。

為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 u% 的合金所對應的波長 v (單位：微米)」， 他將數據轉換為， k =1, ,20 ，得到在 uv 平面的迴歸直線為V=AU+B 。 已知 1 奈米 = 公尺， 1 微米 = 公尺。試選出正確的選項。 (A) ， k =1, ,20 (B) ， k =1, ,20 (C) 的標準差等於的標準差 (D) b = 2.09 (E) 某生發現有另一筆數據，且滿足；若將這21 筆數據 ， k =1, ,21 ，在 uv 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為V=AU+B

13. 已知實係數三次多項式 f (x) 除以 x + 6 得商式 q( x) 和餘式 　3 。若 q(x ) 在 x =−6 有最大值 8， 則 y= f( x) 圖形的對稱中心坐標為。

14. 坐標空間中 ， 已知點 A 的坐標為 (a ,b ,c )  ， 其 中 a ,b ,c 皆為小於0 的實數 ，且知點 A 與 三平面 的距離都是 6 ， 則a+b+c= 

15. 假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價480 元的可愛玩偶最低只要240元」。規則為： 顧客投擲一枚均勻硬幣至多 5 次，前 3 次連續擲得3 個正面者則只能以 240 元購得一個玩偶，擲到第4 次才累積得3 個正面者則只能以320 元購得一個，擲到第5 次才累積得3 個正面者則只能以 400 元購得一個；5 次投完仍未累積 3 個正面者則只能以480元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為元。

16. 坐標平面上，設 L₁、 L₂ 為通過點 (3,1) 且斜率分別 為 m、 −m 的兩條直線，其中 m 為一實 數 。 另設Γ為圓心在原點的一個圓 。 已知Γ與 L₁ 交於相異兩點A 、 B ， 且知圓心到 L₁ 的距離為 　1 ，又Γ與 L₂ 相切，則弦的長度為 。(化為最簡分數)

17. △ABC 中，已知， 。在 △ABC 的外接圓上有一點 D 滿足 = 4， 且 ,則 。(化為最簡根式) 　

18. 試問 c 之值為何？(單選題，3 分) (A) 0 (B) −1 (C) 1 (D) (E)

19. 試求點 Q 的坐標，以及 與向量 (1,0) 的夾角。

20. 設 L 為過點 P 且與直線 OQ 平行的直線，點 S 為 L 和直線 OR 的交點，試求 ∠OSP， 並求點 S 的坐標。