115年 - 115 高等考試_三級_統計：抽樣方法與迴歸分析#141892

(一)市政府先以每千人每月線上申辦件數X₁作為自變數，解釋民眾公共服務滿意度。建立簡單線性迴歸模型：
\(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \varepsilon_i,\) \(i = 1, 2, ..., 10\)
其中，誤差項相互獨立，且服從常態分配：
\( \varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2) \)
已知 10 個行政區的摘要統計量如下：

請以最小平方法（least squares method）求出與的估計值，寫出配適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數，說明其意義。（15 分）

(二)延續第(一)題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準 α= 0.05下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為：F_0.05(1,8) = 5.32 （12 分）

(三)市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點數對滿意度的影響，建立複迴歸模型：
\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 W_{1i} + \beta_2 W_{2i} + \beta_3 W_{3i} + \varepsilon_i\]
其中：

令設計矩陣（design matrix）為X，反應變數向量（response vector）為y ，複迴歸模型可表示為：\(y = X\beta + \epsilon\)
且已知：

請利用最小平方法估計β，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在X₁= 100、X₂= 5、X₃= 14時的公共服務滿意度。（13 分）

(四)市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為
三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為
基準組，並設定兩個屬性自變數如下：

根據資料，估計得到下列迴歸式：
\[ \hat{Y} = 46.80 + 0.32X_1 - 1.45X_2 + 5.20D_1 + 10.40D_2 \]
請解釋 5.20 與 10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？（10 分）

(一)研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量：

請估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並建立全機關平均使用時數的 95% 信賴區間。

(二)研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式 AI 時數的標準差如下：

若總樣本數為 300，請使用 Neyman allocation 計算各部門建議樣本數，並說明配置結果的意義。

(三)正式調查後，實際回收情況如下：

若原本採比例配置，各層基本權重皆為 15，請計算各部門非回覆調整後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式 AI 協助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。

(四)研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下：

若總調查成本限制為 500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門建議樣本數，並說明此配置與 Neyman  allocation 的差異。

(五)若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並希望在 95% 信心水準下估計誤差不超過 0.5 小時。根據前測 資料，估計全體標準差為 7.5，母體總人數為 4,500。請分別計算不考慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆率為 80%，請計算原始應抽樣本數。