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研究所、轉學考(插大)◆工程數學
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112年 - 112 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_電機工程學系:工程數學#144404
> 申論題
題組內容
1. Solve the following system of equations using
\( x_1 + 3x_2 + x_3 = -2 \)
\( x_1 + 3x_2 + x_3 = -2 \)
\( x_1 + 3x_2 + x_3 = -2 \)
(a)Cramer’s Rule (10%)
相關申論題
(b)Gauss-Jordan Elimination (5%)
#589568
(c)the inverse of the matrix (10%)
#589569
2. Solve the following system of linear differential equations (25%). \( y_1' = 5y_1 + 4y_2 \) and \( y_{2}' = y_{1} + 2y_{2} \) with initial condition \(y_1(0) = 2, y_2(0) = 3\)
#589570
3. Solve the ODE:\( 2x^2y'' + 4xy' + 2y = 0 \)(25%)
#589571
4. Solve the ODE:: \(y' + \frac{\sin x}{\cos x} y\)= 2 sin x cos x (25%)
#589572
(b) \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 2 & 5 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
#589573
(c)
#589574
2. Solution initial condition; We have transformed the original system into a diagonal system. The solution to this diagonal system of linear differential equations (as in example 1) is The general solution to the system of linear differential equations is \(y_1 = 4c_1e^{6x} - c_2e^x\) \(y_2 = c_1e^{6x} + c_2e^x\)
#589575
3. Solution \( (x^2y')' + (2xy)' = 0 \) \( x^2y' + 2xy = c_1 \) \( y' = dy/dx \) \( x^2dy + ydx^2 = c_1dx \) \( dyx^2 = c_1dx \)
#589576
4. Solution \( dy + \tan x y dx = 2 \sin x \cos x dx \) Integrate factor \( I(x) = e^{\int \tan x dx} = e^{-\ln \cos x} = \cos^{-1} x \) \( d(\cos^{-1} x y) = 2 \sin x dx \) \( \cos^{-1} x y = -2 \cos x + c_1 \)
#589577
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