(一)求不定積分 \(\int \sqrt{1+y^2} dy\)。(15 分)

四、考慮以下雙曲線偏微分方程的問題：(25 分) \[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx} - 2, \quad (0 < x < \infty, t > 0) \\ u(x, 0) = 0, \quad u_t(x, 0) = 0, \quad (0 < x < \infty) \\ u(0, t) = 0, \quad (t > 0) \end{cases} \] 而且假設對任一時間 t > 0, 解 u(x, t) 在 \(0 < x < \infty\) 是有界函數。利用拉普拉斯轉換 (Laplace transform) 求此問題的解 u(x, t)。