三、下方之數位邏輯電路圖，有 A、B、C 三個輸入變數，一個輸出變數 Y，請依下列數位邏輯電路，列出此邏輯電路的真值表（truth table），並依真值表推導輸出 Y 的結果。（25 分）

這是一個標準的數位邏輯電路分析題。我們將逐步解析每個邏輯閘，列出真值表，並推導出最終的輸出結果 $Y$。

一、 電路組成與布林表達式

1. 第一層：

   • 上方為 NAND 閘，輸入為 A 與 B。輸出設為 $G_1 = \overline{A \cdot B}$。

   • 下方為 NOR 閘，輸入為 A 與 B。輸出設為 $G_2 = \overline{A + B}$。

2. 第二層：

   • 中間為 XOR 閘，輸入為 $G_1$ 與 $G_2$。輸出設為 $G_3 = G_1 \oplus G_2$。

3. 第三層：

   • 最後為 AND 閘，輸入為 $G_3$ 與 C。最終輸出 $Y = G_3 \cdot C$。

二、 真值表 (Truth Table)

根據 3 個輸入變數 ($2^3 = 8$ 種組合)，我們計算中間過程並導出 $Y$：

三、 輸出 Y 的結果推導與簡化

透過真值表觀察，$Y=1$ 的情況發生在：

1. $A=0, B=1, C=1 \rightarrow \bar{A}BC$

2. $A=1, B=0, C=1 \rightarrow A\bar{B}C$

我們可以得到布林函數：

提出共同項 $C$：

由於 $(\bar{A}B + A\bar{B})$ 正是 A XOR B 的定義，因此最終結果可簡化為：

結論： 該電路的邏輯功能是當 A 與 B 不同相 (一高一低)，且 C 為高電位時，輸出 Y 才會為 1。