4. (5%) Compute \( \operatorname{E}(\mathrm{X}) \) based on the pdf of \( \mathrm{X} \).

5. (5%) Suppose you are dealing with an unknown joint pdf \( f(x, y) \). Suppose you only have two random samples of size \( n \): one is \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) from the distribution of \( X \), and the other is \( W_1, W_2, \ldots, W_n \) from the distribution of \( W \), where \( W = E(X|Z) \). Can you determine which random sample would allow you to derive a more precise estimator of \( E(X) \)? Provide an explanation for your choice.

a. (5%) Find the limiting distribution of \( \sqrt{n} (\hat{p}_U - p) \) and \( \sqrt{n} (\hat{p}_B - p) \), respectively.

b. (5%) Show that \( \hat{p}_U \) and \( \hat{p}_B \) are the consistent estimators of \( p \).

c. (5%) Find a consistent estimator of \( \frac{1}{p} \).

d. (5%) Use \( n = 1 \) to show that no unbiased estimator of \( \frac{1}{p} \) exists.

a. (5%) Find the shortest length \( 100(1 - \alpha)\% \) confidence interval for \( \theta \) in the class \( C(X) := \left[\frac{X_{(n)}}{\alpha}, \frac{X_{(n)}}{b}\right] \).

b. (5%) Prove that \( \mathrm{P}_{\theta}[\theta' \in C(X)] < 1 - \alpha \) for \( \theta' \neq \theta \).

a. (5%) Find a sufficient statistic of \( \theta \).

b. (5%) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of \( \theta \).

c. (5%) Find the method of moments estimator of \( \theta \).

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147002

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147007

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147018

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311