5. Show that the volume of a sphere (球) of radius is . (10%)

2. Show that \( \text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) \) for any \( n \)-square matrices \( A \) and \( B \), where \( \text{tr}(AB) \) and \( \text{tr}(BA) \) denote the trace of \( AB \) and \( BA \), respectively.(7%)  

3. Find the dimension and a basis of the solution space \( W \) of the system (10%) \[ \begin{aligned} x + 2y + z - 3t &= 0 \\ 2x + 4y + 4z - t &= 0 \\ 3x + 6y + 7z + t &= 0 \end{aligned} \]

(a)Find all the eigenvalues. (5%)

(b)Find all eigenvectors. (5%)

5. Determine whether the matrix is invertible, and if it is, please compute its inverse. (15%)

二、線性代數部分： Let \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \). Find \( A^2, A^3, A^n \). (8%)

8. Let the probabilities for characters A, B, C, D, E, F to appear in acharacter string be \( \frac{5}{54} \), \( \frac{6}{54} \), \( \frac{7}{54} \), \( \frac{9}{54} \), \( \frac{10}{54} \), and \( \frac{17}{54} \)respectively. Findbinary codes for these characters such that when a characterstring of these characters is represented by your code the binarystring will be of minimal length. Is 010101010101010 a binarystring corresponding to a character string in your code? Describehow do you find the character string of a binary string in yourcode? [10%]

(1)Find E(Y), E(), and variance . (10%)

(2)Find the moment generating function (m.g.f.) of Y. (5%)

2. Let X and Y be two random variables with joint density function given byFind the conditional expectation, . (10%)

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班入學考試_統計學系﹕基礎數學#130312

112年 - 112 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試試題_統計學系：基礎數學#130257

112年 - 112 國立中央大學_碩士班考試入學試題_統計研究所碩士班：基礎數學#130249

112年 - 112 國立中山大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#130245

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):基礎數學#105322

110年 - [非官方正解]110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計所:基礎數學#105296

110年 - 110 國立中山大學碩士暨碩士專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#104270

110年 - 110 國立臺北教育大學_碩士班招生考試_數學暨資訊教育學系數學教育：普通數學(含數學教材教法)#99455

108年 - 108東吳大學_碩士班招生考試_數學系B組︰基礎數學#101160

107年 - 107 國立嘉義大學_暨農場管理進修學士學位學程招生考試試題_進修學士班：數學科#144116