i. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be iid Beta($\theta, 1$). Find a Most Powerful test of $$H_0: \theta = 1 \text{ v.s. } H_1: \theta = 2.$$

ii. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be iid Poisson($\lambda$). Find a Uniformly Most Powerful test of $$H_0: \lambda \le \lambda_0 \text{ v.s. } H_1: \lambda > \lambda_0.$$

iii. Let $X_{ij} \sim f(x_{ij}|\theta_i) = \frac{1}{\theta_i} e^{\frac{x_{ij}}{\theta_i}}, i = 1, 2, j = 1, 2, \ldots, n$ be 2 independent random samples from two exponential populations. Find a likelihood ratio test of $$H_0: \theta_1 = \theta_2 \text{ v.s. } H_1: \theta_1 \neq \theta_2$$

1. Find the limit for \( \lim_{x\to \pi}(\csc \frac{x}{2})^{\tan^2\frac{x}{2}} = ? \)

2. Find the limit for \( \lim_{n\to \infty}\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + 1}} +\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + 2^2}} +\dots +\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + n^2}} = ? \)

3. Find the slope of the tangent line to the curve$2(x^2 + y^2)^2 + (x^2 - 1) = 25(x^2 - y^2) + 2^x \text{ at point } (3, 1).$

4. Find the indefinite integral \( \int \frac{1}{\sqrt{4 + c^2}} dx = ? \)

5. Find the definite integral \( \int_0^4\int_0^{\sqrt{1 - x^2}}e^{x^2 +y^2}dydx = ? \)

II. Linear Algebra1. (10%) Suppose $\underline{x}$ and $\underline{y}$ are two linearly independent vectors in $R^n$, and let U be the span of $\underline{x}$ and $\underline{y}$, that is $U = \text{span}\{\underline{x}, \underline{y}\}$. Let $A = \underline{x}\underline{y}^T + \underline{y}\underline{x}^T$.Prove that the null space N(A) is orthogonal to U, meaning every $\underline{v}$ in N(A) is orthogonal to every $\underline{w}$ in U.

(a) \( (10\%) \) Show that \( P = QQ^{T} \)

(b) (5%) Let \( Q = \left[ \underline{q}_1 \quad \underline{q}_2 \quad \dots \quad \underline{q}_n \right] \). Show that \( \underline{x} \) can be written as a linear combination of \( \underline{q}_1, \underline{q}_2, \dots, \underline{q}_n \) and represented by$\underline{x} = (\underline{q}_1^T\underline{b})\underline{q}_1 + (\underline{q}_2^T\underline{b})\underline{q}_2 + \dots + (\underline{q}_n^T\underline{b})\underline{q}_n$

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147002

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147007

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147018

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311