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學習重點 熟練一元一次不等式的去分母、去括號、移項與合併同類項，並掌握乘除負數時，不等號必須反向。 區分「未知數的範圍」「整數解」與「代數式可能的值」，依題目限制逐層判斷。 把連鎖不等式拆成兩個必須同時成立的不等式，分別求解後取交集。 將解集轉成數線圖，正確判斷左右方向、空心或實心端點，以及兩端之間是否包含。 檢查解題過程時，逐行確認是否與上一行等價，找出最早失去等價性的步驟。 核心觀念 一、不等式的等價變形 解不等式，就是找出所有能使原不等式成立的未知數。基本目標是整理成「x＞a」「x≧a」「x＜a」或「x≦a」的形式。每一步都必須維持相同的解集。 兩邊同時進行的運算不等號方向判斷重點 加上或減去同一個數或代數式不變移項本質上是兩邊同加或同減。 乘以或除以同一個正數不變例如兩邊同除以 5，或同乘分母的最小公倍數。 乘以或除以同一個負數反向＞與＜互換，≧與≦互換。 移項改的是項的正負號，不是直接改不等號方向。例如把右邊的－x移到左邊，會成為＋x；只有兩邊同乘或同除負數時，才需要反轉不等號。 若含括號，應先正確分配括號前的係數，尤其要注意負號，例如－2（x－3）＝－2x＋6，括號內每一項都要乘到。若含分數，可兩邊同乘分母的最小公倍數去分母，此時每一項都要乘，包括沒有分母的常數項；分子若是多項式，要先加上括號再運算，避免分子前的負號只作用到第一項。 以－3x－7≦3－x為例：移項得－3x＋x≦3＋7，即－2x≦10；兩邊同除以－2，不等號反向，得x≧－5。解集中包含－5，以及所有大於－5的數；正數、0、負數或小數都可能符合，不能只憑數的正負判斷。 二、範圍、整數解與代數式可能值 題目若限定x為整數，應先求出不等式的範圍，再篩選整數。例如4x－17＞3－x，移項得5x＞20，即x＞4，整數解為5、6、7、……；4雖是邊界，卻不符合嚴格大於的條件。 若接著問2x＋5的可能值，就要把範圍限制與整數限制同時保留。當x為大於4的整數時，2x＋5依序為15、17、19、……，也就是不小於15的奇數。某個數即使大於15，若是偶數，仍不可能由整數x算出；小於15的數，即使是奇數也不符合。 判斷選項時，也可設代數式的值為y，由y＝2x＋5反推x＝（y－5）÷2，再檢查兩件事：x是否為整數，以及是否落在原本的解集內。例如y＝17時x＝6，符合；y＝11時x＝3，不在x＞4內；y＝20或14時x不是整數，皆不符合。 三、檢驗某個數是否為解 求出解集後，可直接比較候選數與邊界的大小。例如解集為x≧－5時，－6不符合，－3.14、0與1.7都符合。比較負數大小時，數線上越靠右越大；因此－3.14大於－5，不能因為它帶有負號就排除。 另一種方法是把候選數代回原不等式，分別計算左右兩邊，再判斷關係是否成立。符合原不等式才是解；若題目問「不是解」，則應選使不等式不成立的數。例如x＝－6代入－3x－7≦3－x，左邊為11、右邊為9，11≦9不成立，所以－6不是解。代入法也能用來複查移項或除以負數時是否出錯。 四、連鎖不等式要拆開，再取交集 連鎖不等式A＜B≦C，表示「A＜B」與「B≦C」必須同時成立。正確做法是拆成兩個不等式，分別求出限制，最後保留兩者共同允許的範圍。 以x＋3＜8≦3x＋4為例： 由x＋3＜8，得x＜5。 由8≦3x＋4，得4≦3x，即x≧4/3（約1.33）。 取交集，得4/3≦x＜5。 下界4/3可以取到，上界5不能取到；區間內包含所有符合條件的實數，不只整數。注意4≦3x要兩邊同除以3，結果是分數4/3，不是1，也不是4。 取交集時，可把兩個解集分別畫在數線上，再找重疊部分。若兩個條件都限制下界，就採較大的下界；若都限制上界，就採較小的上界，但仍須檢查端點能否取到。例如x≧2且x＞2，交集是x＞2；若x＞3且x≦3，則沒有共同的解。 五、數線圖的方向與端點 解的形式端點畫法標示方向 x＞aa處空心向右延伸 x≧aa處實心向右延伸 x＜aa處空心向左延伸 x≦aa處實心向左延伸 a≦x＜b，且a＜ba處實心、b處空心標示兩端之間的線段 a＜x≦b，且a＜ba處空心、b處實心標示兩端之間的線段 空心表示該端點不包含，實心表示該端點包含。閱讀圖形時，依序檢查：端點數值→空心或實心→延伸方向或線段範圍。若得到4/3≦x＜5，圖上應在4/3（位於1與2之間）畫實心、5畫空心，並標示兩者之間的線段。端點若是分數，要先確認它在數線上的正確位置，再比對選項。 六、如何找出解題過程最早的錯誤 逐步檢查時，要比較「這一行能否由上一行合法推得」，依序檢查： 去分母時，是否每一項都乘到，分子是否加上括號。 去括號時，括號前的負號是否讓每一項都變號。 移項時，被移動的項是否改變正負號。 合併同類項時，係數與常數是否計算正確。 乘除負數時，不等號是否反向；乘除正數時，是否誤改方向。 最早出現不等價變形的那一步，就是錯誤開始處；後面的計算即使順著錯誤結果繼續進行、看起來運算無誤，也不是最初出錯的位置。可以用「代入同一個數檢查相鄰兩行的真假是否一致」來輔助：若某數使上一行成立、下一行卻不成立（或相反），這兩行之間就失去等價性。 常考陷阱 除以負數卻保留原方向：把－2x≦10寫成x≦－5，是典型錯誤；正確結果為x≧－5。 一移項就反轉不等號：移項只改該項的正負，不等號方向維持原樣。 去分母漏乘常數項或分子未加括號：同乘最小公倍數時，每一項都要乘；分子前有負號時，整個分子都要變號。 把邊界當成一定可取：x＞4不包含4；x≧4才包含4。求最小整數解時，必須先看有沒有等號。 只看代數式的大小，忽略整數性：2x＋5在x為整數時必為奇數，範圍內的偶數仍須排除；也別忘了檢查是否低於最小可能值。 把負數一律排除：是否為解取決於位置與大小關係，不取決於是否帶負號；－3.14大於－5。 漏看「不是」：先判斷各選項是否符合，再確認題目要找的是解還是非解。 連鎖不等式只解一邊，或把兩邊取聯集：「同時成立」要取交集，僅符合其中一個條件仍不算解。 端點數值算錯：4≦3x應得x≧4/3，常見錯誤選項會把端點畫在1或4；也要確認分數端點在數線上的位置。 端點空實心對調：選項常只差一個端點的空心或實心，有等號才實心。 端點畫對，方向卻畫錯：大於往右、小於往左；有上下界時，還要確認標示的是兩端之間的共同區間。 把一般解集畫成幾個整數點：除非明定整數，區間內的小數與分數也都是解。 找錯步驟時選到後面的步驟：錯誤之後的推算可能都「看似正確」，要找的是第一個不等價的步驟。 記憶口訣 移項變項號，負乘除反向；同時取交集，端點看等號。 大於向右、小於向左；有等實心、無等空心。整數先篩選，式值再檢驗。