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學習重點 用三角形不等式「兩邊差＜第三邊＜兩邊和」判斷三角形是否存在，等號不能成立。 未知邊長為正整數時，先列出嚴格不等式，排除端點，再數出整數解。 四邊形的對角線同時是兩個三角形的邊，要分別列出範圍，再取交集。 區分「圖形不存在」「圖形不唯一」與「面積無法唯一確定」，據此說明試題為何不合理。 只修改一個數據時，要讓圖形能成立、所有條件彼此相容，且所求面積只有一個答案。 核心觀念 一、三角形三邊關係：先判斷圖形是否存在 設三角形三邊長為 a、b、c，三邊都要大於零，而且任意兩邊之和都要大於第三邊。已知兩邊 a、b 時，第三邊 x 的完整範圍是： |a－b|＜x＜a＋b。 右側來自 a＋b＞x。左側由 a＋x＞b 與 b＋x＞a 合併而來。若三邊數值都已知，只要先找出最長邊，再檢查另外兩邊的和是否大於最長邊即可。 等號不能成立。兩短邊的和恰好等於最長邊時，三個頂點落在同一直線上，屬於退化情形，不是三角形。兩短邊的和小於最長邊時，三邊根本接不起來。即使圖畫得像三角形，也不能推翻數值上的矛盾。 二、第三邊為正整數：先列範圍，再數個數 處理正整數邊長，依序做四步：建立不等式、排除端點、列出整數、計算個數。例如 2＜x＜6，正整數解是 3、4、5，共三個。2 和 6 都不能算進去。 若上下界 L、U 都是整數，且 L＜x＜U，整數解是 L＋1 到 U－1，有解時共 U－L－1 個。上下界不是整數時，不能直接套這個減法公式，要逐一找出真正落在區間內的整數。 圖中若有多個三角形，或另有邊長大小、正整數等限制，必須全部合併後再計數。題目問「最多有幾個」，也要用圖中所有條件判斷，不能只挑一組邊來算。 三、四邊形的對角線：兩個三角形都要成立 四邊形 ABCD 的對角線 BD，是三角形 ABD 與三角形 BCD 的共同邊。設 BD＝x，已知 AB＝5、AD＝6、BC＝10、CD＝4，對兩個三角形分別套用三角形不等式： 使用的三角形共同邊的限制 三角形 ABD（邊 5、6）|6－5|＜x＜6＋5，即 1＜x＜11。 三角形 BCD（邊 10、4）|10－4|＜x＜10＋4，即 6＜x＜14。 兩組條件同時成立取交集，得 6＜x＜11。 所以 BD 的整數可能值為7、8、9、10，共四個。取交集的方法是：下界取兩個下界中較大的，上界取兩個上界中較小的。這四個長度都能讓兩個三角形成立，把兩個三角形放在 BD 的兩側，就能組成四邊形。 四、邊角資料能否唯一確定三角形 判斷資料夠不夠，不能只數給了幾個數字，要看這些數字是哪些邊、哪些角，以及它們的相對位置。「唯一確定」指形狀與大小都確定，所有符合條件的三角形彼此全等。平移、旋轉或鏡射後的圖形不算不同。 已知資料判斷關鍵 三邊（SSS）要先通過三角形不等式，通過後即唯一確定。 兩邊及其夾角（SAS）兩邊為正，且夾角大於 0° 小於 180°，即唯一確定。 兩角及一邊（ASA、AAS）兩角都為正、和小於 180°，且邊與角的對應關係明確，即唯一確定。 三角（AAA）只能確定形狀，大小不確定。沒有任何長度資料時，面積不唯一。 兩邊及非夾角（SSA）可能無解、一解或兩解，不能直接說唯一。 SSA 的典型情形：已知銳角 A、A 的對邊 a，以及另一邊 b，令 h＝b sin A。 a＜h：無解。 a＝h：一解。 h＜a＜b：兩解。 a≥b：一解。 若 A 為直角或鈍角，a＞b 時有一解，否則無解。作答前要先確認已知角的對邊是哪一條，不能隨意套用。 五、面積試題的合理性：三層檢查 評析一道求面積的試題，依序檢查三件事：圖形是否存在、條件是否相容、面積是否唯一。 是否存在：三邊違反三角形不等式時，三角形不存在。另外標上的高或角度都救不回來。 是否相容：同一個圖上的邊長、高、角度必須描述同一個三角形。三邊一旦確定，三角形就確定，面積也跟著確定（可用海龍公式計算）。此時再另標一個高，就可能與三邊互相矛盾。常用的檢查方式有： 從頂點到底邊的高，必須小於從同一頂點出發的另外兩邊（斜邊大於股）。只有直角邊本身就是高時，兩者才會相等。 高把底邊分成兩段時，每一段可用畢氏定理由「邊長與高」算出，兩段的和必須等於底邊。若垂足落在底邊延長線上，則是兩段的差等於底邊。 是否唯一：資料不足時，可能有不同的三角形，面積也不同。例如只給兩邊而夾角未定，面積通常不唯一。 面積常用「底×對應高÷2」。高必須垂直於底邊所在直線，斜邊不能當高。鈍角三角形的高可能落在底邊的延長線上。已知兩邊及其夾角時，也可以用「兩邊乘積×夾角正弦÷2」。 三角形不唯一，不代表面積一定不唯一。例如底和對應高固定時，頂點可沿著與底平行的直線移動，三角形不同，面積卻相同。 六、只修改一個數據，讓試題合理 先找出矛盾從哪裡來，再決定改哪一個數據。修改後要逐一回頭檢查三層條件。申論時要明確寫出改哪個數據、改成多少、改完後為何成立，並最好算出面積來證明答案唯一。 以下用一個示例說明。設 AB＝5、AC＝5、底 BC＝12，高 AD＝4。 說明不合理：5＋5＝10＜12，違反三角形不等式，三角形不存在。另一個角度：由高為 4，BD＝√(5²－4²)＝3，DC＝3，所以底應為 6，與 12 矛盾。 修改：把 BC 改成 6。此時 5＋5＞6，三角形存在。由畢氏定理得 BD＋DC＝3＋3＝6，與高 4 相容。面積為 6×4÷2＝12，答案唯一。 關鍵：圖上同時標有高時，新的數值不能只落在 |a－b| 到 a＋b 之間就算完成，還必須與高的畢氏關係吻合。所以合理的修改值往往只有一個或少數幾個。 實際作答時，要依原圖的四個數據，先指出哪一組數據違反三角形不等式或彼此矛盾，再提出一個能讓全部條件相容的修改。 常考陷阱 「兩邊和大於或等於第三邊即可」：錯在包含等號，必須嚴格大於。 「第三邊小於兩邊和就夠了」：還必須大於兩邊差。例如已知兩邊為 10、4，第三邊不能是 5。 「整數解包含區間端點」：嚴格不等式的端點一律排除。例如 6＜x＜11 時，6 和 11 都不算。 「對角線符合其中一個三角形即可」：兩個三角形必須同時成立，要取交集，不是聯集。 「給三個資料一定唯一」：AAA 沒有大小資訊，SSA 可能有兩解。資料的種類與位置比數量更重要。 「資料越多，題目越合理」：已給三邊又另標高，多出來的資料可能互相矛盾。 「圖上看起來垂直，就能當高」：要看垂直記號或文字條件，不能憑示意圖外觀判斷。 「把邊改到不等式範圍內就完成」：還要檢查與高、角度是否相容，並確認面積答案唯一。 記憶口訣 「差要小於它，和要大於它，等號兩端都不要。」意思是：兩邊差小於第三邊，兩邊和大於第三邊。 「共邊分開算，最後取交集。」四邊形的對角線要對兩個三角形分別列範圍。 「先查存在，再查相容，最後查唯一。」這是評析與修改面積試題的檢查順序。