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學習重點 看到「到三邊等距」，先想到內心；看到「到三個頂點等距」，則想到外心。 內心是三個內角角平分線的交點，也是內切圓的圓心；它到三邊的垂直距離都等於內切圓半徑。 內心到三個頂點通常不等距。比較遠近時，記住角越大，該頂點離內心越近。 均勻三角形薄片的重心是三條中線的交點；在重心處懸掛，可使薄片保持水平平衡。 核心觀念 一、內心：三角形內部到三邊等距的點 設三角形為△ABC，三個內角的角平分線交於I，I稱為內心。從I向三邊作垂線，三條垂線段的長度相等。因此可以I為圓心、這個共同距離為半徑，畫出與三邊都相切的圓，稱為內切圓。 「點到直線的距離」是指垂直距離，不是任意連到直線上一點的線段長。若題目說城市之間以直線道路相連，要求建物到三條道路等距，就把道路視為三角形的三邊，判定為內心。 無論銳角、直角或鈍角三角形，內心都在三角形內部。嚴格來說，若只說「到三邊所在直線等距」，又不限制點在三角形內部，三角形外的旁心也符合條件。因此完整的判斷是：三角形內部到三邊等距的點為內心。 二、內心到頂點的距離：角越大，距離越近 內心到三邊等距，不代表到三個頂點也等距。設內切圓半徑為r，從I向AB作垂線，垂足為D。因為AI平分∠A，所以在直角三角形ADI中，∠IAD＝∠A的一半，ID＝r，AI是斜邊。 依正弦的定義可得AI＝r／sin(∠A／2)。同理，BI＝r／sin(∠B／2)，CI＝r／sin(∠C／2)。三式使用同一個半徑r，所以比較距離時，只需比較各頂角半角的正弦值。 三角形每個內角都介於0°與180°之間，所以半角介於0°與90°之間。在這個範圍內，角越大，正弦值越大。因此頂角越大，分母越大，內心到該頂點的距離越短。 若∠A＞∠B＞∠C，則AI＜BI＜CI。 若∠A＝∠B，則AI＝BI。 只有三個內角都相等時，才有AI＝BI＝CI，也就是正三角形的情況。 作答步驟：找出最大內角 → 找出該角的頂點 → 判定該頂點離內心最近。若題目給的是邊長，先用「大邊對大角」判斷角的大小，再比較距離。最大邊所對的頂點，就是離內心最近的頂點。 角度或邊長若標示在圖中，必須依圖上標示的數據判斷，不能只看示意圖畫起來誰比較近。 三、重心：三條中線的交點與薄片平衡 中線是連接「一個頂點」與「對邊中點」的線段。例如D是BC的中點，AD就是從A出發的中線。三角形的三條中線交於同一點，稱為重心，通常記為G。重心一定在三角形內部。 重心把每條中線分成兩段，靠頂點的一段：靠對邊中點的一段＝2：1。例如G在中線AD上，則AG：GD＝2：1，也就是從頂點A沿中線走全長的三分之二，就到達重心。 對於厚度一致、材質均勻的三角形色紙或薄片，它的重心就是三條中線的交點。若要用一條線懸掛，並讓紙面與地面平行，應把線黏在重心，讓懸掛力的作用線通過重心，薄片才能平衡。這個結論對任何形狀的三角形都成立。 實際找重心時，取任意兩邊的中點，分別連到各自對面的頂點，兩條中線的交點就是重心。若薄片某處加貼重物或材質不均勻，實際重心會改變，就不能直接套用這個結論。 四、四心比較：先認線，再認性質 名稱由哪些線相交主要判斷關鍵 內心三個內角的角平分線到三邊等距，是內切圓圓心 重心三條中線均勻三角形薄片的平衡位置，分中線為2：1 外心三邊的中垂線到三個頂點等距，是外接圓圓心 垂心三條高所在的直線高通過頂點，且垂直於對邊所在直線 中線與中垂線都和「中點」有關，但中線一定連到對面頂點，中垂線一定垂直於該邊，中垂線不一定通過頂點。高則通過頂點並垂直於對邊所在直線，垂足不一定是中點。 常考陷阱 「到三條道路等距，所以選外心」：這是把到邊的距離誤當成到頂點的距離。道路對應三邊，城市對應頂點；到三邊等距選內心，到三個頂點等距才選外心。重心與垂心都沒有「到三邊等距」的性質。 「角平分線交點到三個城鎮一樣遠」：內心保證的是到三邊等距，不是到頂點等距。除非是正三角形，否則不能選「都一樣近」，必須比較角度。 「角越大，內心離該頂點越遠」：方向顛倒了。半角正弦值在分母，所以角越大，距離越短；最大角的頂點最近，最小角的頂點最遠。 「最大邊的兩個端點離內心最近」：大邊對大角，應該找最大邊的對面頂點，不要把邊的端點和對角的頂點混淆。 「三角形紙片要水平，就找三條高或中垂線的交點」：平衡問題對應重心，要找三條中線的交點。高、中垂線、角平分線各有用途，不能因為都是三線交點就混用。 「重心在中線的正中央」：重心不是中線的中點。從頂點量起是中線全長的三分之二，從對邊中點量起才是三分之一。 「任何三角形的四心都重合」：一般三角形的四心位置各不相同，只有正三角形的四心重合，不可把特例當通則。 記憶口訣 「內角平分找內心，三邊等距內切圓；中線交會找重心，均勻薄片能平衡。」 「內心看頂點：角大距離小；重心分中線：頂二底一。」「頂二底一」指頂點到重心占兩份，重心到對邊中點占一份。 「邊等距找內心，點等距找外心。」「邊」指三邊，「點」指三個頂點。