三角形外心與中心位置

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建立於 2026年11月10日

學習重點 看到「到三個頂點的直線距離相等」，立即連結外心；看到「到三邊的距離相等」，則連結內心。 理解外心是三邊中垂線的交點，並能用外接圓半徑說明它到三頂點等距。 掌握外心的位置：銳角三角形在內部、直角三角形在斜邊中點、鈍角三角形在外部；內心則恆在三角形內部。 能由三邊長判定直角三角形，再找出等距設站的位置與距離。 分清多邊形的內角和與外角和：三角形、四邊形的內角和不同，但依同一方向各取一個外角，其外角和相同。 核心觀念 一、外心：到三頂點距離相等的點 三角形的外心是三邊中垂線的交點。設三角形三頂點為 A、B、C，外心為 O，則OA＝OB＝OC。以 O 為圓心、OA 為半徑畫圓，圓周會通過 A、B、C，這個圓就是三角形的外接圓。 為什麼要找中垂線？因為到線段兩端點等距的點，都在線段的中垂線上。若某點到 A、B 等距，它就在 AB 的中垂線上；若又到 B、C 等距，它也在 BC 的中垂線上。因此，作出兩邊的中垂線，其交點就是外心，也會落在第三邊的中垂線上。 三個地點不共線，就能形成三角形，並有唯一外心。選址題若要求新建房屋或轉運站到三處住家、車站的距離都一樣，應將三處地點視為三角形的三頂點，尋找外心。此處比較的是地圖上的直線距離，不能自行改成道路里程或交通時間。 二、內心與其他中心：先認清「距離的對象」 三角形的內心是三條內角平分線的交點，也是內切圓的圓心。它到三邊的垂直距離相等；這些距離就是內切圓半徑。內心必定在三角形內部。 中心定義辨識關鍵 外心三邊中垂線的交點到三頂點等距，是外接圓圓心 內心三條內角平分線的交點到三邊等距，是內切圓圓心 重心三條中線的交點中線連接頂點與對邊中點 垂心三條高所在直線的交點高通過頂點，並垂直於對邊所在直線 「到三個地點等距」的對象是點，因此選外心；「到三條邊等距」的對象是直線，因此選內心。重心與垂心都沒有一般性的「到三頂點等距」性質，不能因為名稱中有「中心」的感覺就選用。 三、外心的位置由三角形的角決定 三角形類型外心位置判斷重點 銳角三角形三角形內部三個內角都小於 90° 直角三角形斜邊中點外心在三角形邊上 鈍角三角形三角形外部有一個內角大於 90° 外心的「外」指外接圓，不代表位置一定在三角形外面。要判斷外心位置，必須先辨認三角形類型。相較之下，內心不論在銳角、直角或鈍角三角形中，都位於內部。 因此，「內心一定在三角形內部」正確；「外心一定在三角形外部」錯誤。外心也不能說成「一定在內部」，因為直角與鈍角三角形就是反例。 四、直角三角形：斜邊中點到三頂點等距 直角三角形的外心就是斜邊中點，外接圓半徑等於斜邊長的一半。因此，從斜邊中點連到三個頂點，三條線段等長。 若三邊長為 10、24、26 公里，先取最長邊 26，檢查：10²＋24²＝100＋576＝676＝26²。由畢氏定理的逆定理，可知這是直角三角形，長 26 公里的邊就是斜邊，其所對的角為直角。 若要設置到三個車站直線距離都相同的轉運站，應設於長 26 公里那一邊的中點，到三站的直線距離均為13 公里。申論作答可依序交代「兩短邊平方和等於最長邊平方，所以是直角三角形」、「直角三角形的外心為斜邊中點」、「外心到三頂點等距，因此轉運站設在此處」，理由便完整。 若選址以甲、乙、丙等圖上標記呈現，須對照圖形，選出位於斜邊（26 公里那一邊）中點的標記；其他位於三角形內部或直角邊上的點，都不會到三站等距。 五、內角和與外角和的比較 三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為360°，所以三角形的內角和小於四邊形的內角和。一般 n 邊形的內角和為（n－2）×180°。 外角和採用標準取法：沿邊界同一方向，在每個頂點各取一個外角。對凸多邊形而言，繞行一周總共轉過一圈，所以外角和皆為 360°。因此，三角形與四邊形的外角和相等，不能因為四邊形多一條邊，就認為其外角和較大。 綜合判斷：「內心一定在內部」對、「外心一定在外部」錯、「三角形內角和＜四邊形內角和」對、「三角形外角和＜四邊形外角和」錯，正確的組合只有前者與內角和那一句。 常考陷阱 「到三頂點等距的是內心」：錯在混淆點與邊。外心管頂點，內心管邊；題目描述三處住家或車站，是在比較到三個點的距離，應選外心。 「選重心或垂心」：重心是中線交點、垂心是高的交點，都不保證到三頂點等距；只有正三角形時四心才重合。 「中垂線就是中線」：中垂線通過某邊中點且垂直該邊，不一定通過對面頂點；中線則連接頂點與對邊中點。兩者分別用來找外心與重心。 「外心一定在外部」：不能從名稱推位置。看到「一定」要檢查所有類型；銳角三角形的外心在內部，已足以否定此說法。 「直角三角形的外心在直角頂點」：直角頂點是垂心，外心在斜邊中點。找斜邊時，應找直角的對邊，也是最長邊。 「任一邊的中點都能到三頂點等距」：直角三角形適用的是斜邊中點，不能改成任一直角邊的中點。 「26 公里就是到各站的距離」：26 公里是斜邊長，也是外接圓直徑；到各頂點的距離是半徑，應除以 2，得 13 公里。 「邊數越多，外角和越大」：內角和隨邊數增加，但標準取法下的外角和都是 360°。比較大小前，先圈出題目問的是內角還是外角。 記憶口訣 「外心找頂點，內心找三邊；中垂找外心，角分找內心。」 「銳內、直中、鈍外；內心永遠在裡面。」其中「直中」專指直角三角形的斜邊中點。 「三內一八○，四內三六○；外角繞一圈，都是三六○。」