中垂線與三點定圓

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握中垂線的兩個條件：通過線段中點，而且與線段垂直，缺一不可。 看到點在線段的中垂線上，立即轉換為「該點到線段兩端點的距離相等」，並能反向判斷點的位置。 判斷圓是否通過某點時，檢查圓心到該點的距離是否等於半徑；圓心是中垂線上的點或是線段端點，結論不同。 理解不共線三點決定唯一圓，能據此判斷兩圓共用一段圓弧時，圓心與半徑必定相同。 核心觀念 一、中垂線：平分與垂直必須同時成立 線段的中垂線又稱垂直平分線。以下以線段 AB 為例，若直線 ℓ 是 AB 的中垂線，且交 AB 於 M，便同時具有兩項性質： 平分：AM＝BM，表示 M 是 AB 的中點。 垂直：ℓ 與 AB 垂直，交會形成的角為直角。 因此，解題時應先分開整理「中點提供的等長」與「垂直提供的直角」，不要只憑圖形看起來對稱就推論。直線通過線段中點，不一定是中垂線；直線與線段垂直，也不一定平分線段。 二、中垂線上的點，到兩端點等距 若 P 是 AB 中垂線上的任一點，就有PA＝PB。這裡相等的是「P 到兩個端點 A、B 的距離」，不是 P 到中點的距離，也不是圖上任意兩條線段。 當 P 不在 AB 上時，可連接 PA、PB，形成以 AB 為底邊的等腰三角形。若 M 為 AB 的中點，則三角形 PAM 與 PBM 共有 PM，又有 AM＝BM，且在 M 處皆為直角，依 SAS 全等可得 PA＝PB。 反過來也成立：若某點 P 滿足 PA＝PB，則 P 位於 AB 的中垂線上。所以中垂線可以理解成「平面上所有到 A、B 兩點等距的點所形成的直線」，其中也包含中點 M 本身。 已知條件可以確定的結論不能直接推論 M 是 AB 的中點AM＝BM任意通過 M 的直線都垂直 AB P 在 AB 的中垂線上PA＝PBPA＝AB 或 PA＝PM PA＝PBP 在 AB 的中垂線上P 必為 AB 的中點 直線垂直 AB交會形成直角交點必平分 AB 題目若說「D 點在中垂線上」，要找的正確敘述就是「D 到線段兩端點等長」；其他看起來也像相等的線段（例如 D 到端點與線段本身、D 到端點與 D 到中點），都不在保證範圍內。 三、把等距性質轉換成圓的通過條件 圓是平面上到一個固定點的距離等於固定正數的所有點所成的圖形。固定點稱為圓心，固定距離稱為半徑。因此，以 O 為圓心、r 為半徑的圓通過 X，恰好就是 OX＝r。 判讀文字選項時，可依下列順序處理： 找出圓心，記為 O。 找出題目指定的半徑長，記為 r。 把「圓通過 X」改寫成 OX＝r。 確認這個等式能否由中點、中垂線或其他已知條件推出。 以直線 CD 為 AB 的中垂線、交 AB 於 D 為例（C 在中垂線上，D 為 AB 中點），可整理出下表： 畫圓方式改寫成距離等式是否必成立 以 A 為圓心、BC 為半徑，過 CAC＝BC成立（C 在中垂線上） 以 C 為圓心、CB 為半徑，過 ACA＝CB成立（C 在中垂線上） 以 D 為圓心、AD 為半徑，過 BDB＝DA成立（D 是中點） 以 B 為圓心、AB 為半徑，過 CBC＝AB不一定，只有特殊情形（如正三角形）才成立 規律是：以中垂線上的點（含中點）為圓心、到一端點的距離為半徑，圓必通過另一端點；但若以端點為圓心，就要檢查端點到其他點的距離，原先的 PA＝PB 並未保證這件事。更換圓心後，必須重新檢查距離，不能沿用先前的判斷。 四、不共線三點決定唯一圓 平面上不在同一直線上的三個點，恰可決定一個圓。其中「不共線」與「唯一」都是關鍵：直線與圓最多只有兩個交點，所以三個互異共線點不能同在一個圓上；只有兩個互異點時，則有無限多個圓通過它們（圓心可在這兩點連線的中垂線上任意移動）。 為什麼三點能定圓？設 A、B、C 不共線。圓心到 A、B 等距，所以位於 AB 的中垂線上；圓心到 A、C 等距，所以也位於 AC 的中垂線上。這兩條中垂線不平行，只有唯一交點，就是圓心 O，再以 OA 為半徑，就能畫出通過三點的唯一圓。這個圓心也就是三角形 ABC 的外心。 五、共用一段圓弧，就屬於同一個圓 只要是一段長度大於零的圓弧，就能在其上取出三個互異點；由於直線與圓最多交於兩點，這三點必不共線。因此，若兩個圓都包含這一段圓弧，它們便同時通過這三點。依三點定圓的唯一性，兩圓必為同一個圓，圓心相同、半徑也相同。 把圓周分成一百等份，每一等份對應的圓心角為 360°÷100＝3.6°。圓弧雖短，仍是一段非零長度的圓弧，足以決定原來的圓。因此，要求另一個圓包含該段圓弧，又要求半徑不同，是不可能的，符合條件的個數為0。 常考陷阱 把「垂直」當成「垂直平分」：有直角只能確認垂直，還必須確認通過中點，才能套用中垂線的等距性質。 等長線段配錯端點：點在 AB 的中垂線上，應寫成該點到 A、B 等距。不能任意改成到中點等距，或認定它與 AB 等長。 誤以為中垂線上的點一定是中點：中垂線上有無限多個點，只有它與原線段的交點才是該線段中點。 以端點為圓心的選項最常是錯誤選項：「以 B 為圓心、AB 為半徑，圓必過 C」要成立需 BC＝AB，題目條件並未給出，應判為錯誤。 把未獲保證的等長當成必然：已知 PA＝PB，不能推出 AB＝PA。某個特殊畫法可能碰巧成立，並不表示所有符合條件的圖形都成立；「必」字要對所有情形都成立。 誤認短弧可以配上許多不同半徑而選「無限多」：圖形看起來接近不代表圓弧完全重合；只要確實共用一段圓弧，就只能是同一個圓。 把等分份數當成圓的個數而選「100」：等分一百份只是在描述弧的大小，不會產生一百個符合條件的不同圓。 把原圓本身算進去而選「1」：包含這段弧的圓只有原圓本身，但它與自己半徑相同，不符合「半徑不同」的要求，所以答案是 0。 混淆共用兩點與共用圓弧：不同圓可以共用兩個點，但不能共用一段圓弧。若已共用三個互異點，就必須是同一個圓。 記憶口訣 「中點加垂直，端點必等距；圓上看半徑，換心重檢查；三點不共線，一圓就確定；共弧必同圓，異徑零個成。」