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學習重點 掌握二次函數的一般式與頂點式，能用配方法或頂點公式求出極值發生的位置和極值大小。 先看二次項係數的正負，判斷函數有最大值還是最小值，並分清頂點的兩個座標：橫座標是位置，縱座標是極值。 依收費規則建立「總收入＝總人數×每人實收單價」的模型，注意降價是否適用於全體參加者。 結合人數的整數限制與題意範圍，判斷最大收入能否實際達成，以及指定收入是否可能出現。 核心觀念 一、二次函數的頂點與極值 二次函數的一般式為 f(x)＝ax²＋bx＋c，其中 a≠0。利用配方法可以改寫成頂點式 f(x)＝a(x－h)²＋k，頂點為（h，k），對稱軸為 x＝h。因為平方數不小於 0，所以開口方向決定頂點是最大值還是最小值。 判斷項目a＞0a＜0 拋物線開口向上向下 頂點的意義最低點最高點 x 可取所有實數時的極值x＝h 時，最小值為 k（無最大值）x＝h 時，最大值為 k（無最小值） 函數值的範圍f(x)≥kf(x)≤k 不配方時，也可以先用頂點的橫座標 h＝－b／(2a)，再代回原函數求 k＝f(h)。計算時分母是整個 2a，分子前的負號也要保留。 二、配方法：同時找出位置與極值 以 f(x)＝x²＋2x＋3 為例，把二次項與一次項配成完全平方： f(x)＝x²＋2x＋1＋2＝(x＋1)²＋2。 因為 (x＋1)²≥0，所以 f(x)≥2。當 x＋1＝0，也就是x＝－1時，平方項等於 0，函數取得最小值 2。所以頂點為（－1，2），開口向上，沒有最大值。 用公式驗算：a＝1、b＝2，h＝－2／(2×1)＝－1，k＝f(－1)＝1－2＋3＝2，結果相同。 注意，頂點式中的 x＋1 要看成 x－(－1)，所以頂點的橫座標是－1。另外，把 x＝1 代入雖然得到 f(1)＝6，但這只表示圖形通過（1，6），不代表 6 是極值。「某一點的函數值」和「整個範圍內的最大值、最小值」是不同的概念。 三、收入建模：先定義變數，再寫單價 收入問題的基本式是總收入＝總人數×每人實收單價。讀題時要先弄清楚：變數代表總人數，還是超過預定人數後增加的人數；折扣是全體都享有，還是只適用於新增的人。 以每人原價 5000 元、預定人數 30 人、達到 30 人後每增加 1 人全體每人便宜 100 元為例，有兩種設法： 設法總人數每人單價總收入 設增加人數為 t30＋t5000－100tR(t)＝(30＋t)(5000－100t) 設總人數為 nn5000－100(n－30)＝8000－100nR(n)＝n(8000－100n) 兩種模型完全等價，關係為 n＝30＋t。在這個收費規則下，t 為非負整數，n 為不小於 30 的整數；單價必須為正，所以 n＜80。 設增加人數為 t，展開並配方： R(t)＝150000＋2000t－100t²＝－100(t－10)²＋160000。 二次項係數為負，開口向下，所以收入有最大值。當 t＝10，也就是總人數 40 人時，每人收費 4000 元，總收入為160000 元。這裡的 10 是增加的人數，不是總人數。 若以總人數 n 表示： R(n)＝－100n²＋8000n＝－100(n－40)²＋160000。 兩式頂點的橫座標不同，是因為變數意義不同；它們描述的最佳人數和最大收入完全相同。 補充：人數未達 30 人時不打折，收入為 5000n，最多 5000×30＝150000 元，也低於 160000 元。因此不論人數多少，總收入的最大值都是 160000 元。 四、判斷指定收入是否可達 由 R(n)＝－100(n－40)²＋160000，且平方項不小於 0，可知R(n)≤160000。指定收入只要高於 160000 元就不可能達成。例如 165000 元已超過最大收入，所以旅行社的總收入無法達到 165000 元。 申論作答時，要寫出收入函數、配方結果，再比較最大值與指定金額。只寫「不可以」或「人數增加會降價」，都沒有說明收入的上限，不算完整的理由。 也可以令收入等於指定金額來驗證。令 R(n)＝165000： －100(n－40)²＋160000＝165000(n－40)²＝－50。 實數的平方不可能是負數，所以不存在符合條件的人數，結論相同。 若指定收入沒有超過最大值，也不能直接斷定一定可達，還要解方程式，確認所得人數是整數、在題意範圍內，而且單價合理。若頂點對應的人數不是整數，要比較左右相鄰且符合限制的整數人數。本模型頂點人數為 40，符合限制，所以最大收入 160000 元確實可以達成。 申論參考寫法：設總人數為 n（n≥30），總收入 R(n)＝n[5000－100(n－30)]＝－100(n－40)²＋160000≤160000，當 n＝40 時收入最大，為 160000 元。因為 165000＞160000，所以總收入不可能達到 165000 元。 常考陷阱 看到 x＋1，就把頂點位置寫成 x＝1：要令平方項內的式子等於 0，才能找到正確位置；x＋1＝0 的解是－1。 把代入所得的數值當成極值：f(1)＝6 只說明該點的函數值是 6。判斷極值要看頂點與開口方向。 把開口向上說成有最大值：在全體實數範圍內，a＞0 有最小值、無最大值；a＜0 有最大值、無最小值。選項中「位置對但最大、最小寫反」或「極值對但位置寫錯」都是常見的錯誤寫法，兩者要同時核對。若題目另外限定範圍，要依範圍重新判斷。 總人數與增加人數混用：若變數是總人數，降價次數是 n－30，不能寫成每人降價 100n 元。 只計算新增者的收入：全體都享折扣時，原有參加者的收費也會降低，必須用調整後的單價乘上全部人數。 以為人越多，收入一定越高：人數增加會使單價下降，總收入是開口向下的二次函數，超過最佳人數後反而會減少。 混淆收入與利潤：收入只計算收進的金額，利潤還要扣除成本。題目沒有提供成本時，不可以自行加上成本條件。 忽略實際可行性：求出頂點或方程式的解後，還要檢查人數範圍與整數條件；低於最大收入的金額也不一定剛好能達到。 記憶口訣 「先看開口，再找頂點；橫座標是位置，縱座標是極值。」 「收入人乘價，折扣看全體；總數減基數，才是增加數。」 「目標超上限，直接判不行；目標未超限，還要驗人數。」