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學習重點 能將一般式 y＝ax²＋bx＋c 配方成頂點式 y＝a(x－h)²＋k，正確讀出頂點 (h，k)。 掌握圖形平移的代換規則：向右平移，將 x 換成 x－r；向下平移，將整個函數值減去相應單位。 能由平移後的頂點式求方程式的實根，分辨圖形與 x 軸相交、相切及不相交的情形。 能以頂點縱座標與水平直線高度之差的絕對值，求出頂點到水平直線的距離，並完整寫出申論計算步驟。 核心觀念 一、配方法：把二次函數整理成頂點式 二次函數的一般式為 y＝ax²＋bx＋c，其中 a≠0。要找頂點，最直接的方法是整理成y＝a(x－h)²＋k，其頂點為(h，k)，對稱軸為 x＝h。 配方的依據是完全平方公式：x²＋2px＋p²＝(x＋p)²。因此，當 x² 的係數為 1 時，先取一次項係數的一半，再將它平方，並以「加上多少，就減去多少」維持原式的值。 例如，將 x²＋4x＋3 配方：x²＋4x＋3＝x²＋4x＋4－4＋3＝(x＋2)²－1。因為 x＋2＝x－(－2)，所以頂點為(－2，－1)，對稱軸為 x＝－2。 配方法也能說明頂點的意義：平方值不小於 0，當 x＝－2 時，(x＋2)²＝0，函數取得最小值－1。注意，最小值是一個數，頂點則是一組坐標，兩者不能混用；題目問「頂點為何」時，必須寫出完整坐標 (－2，－1)。 若 a≠1，必須先從二次項及一次項提出 a，再在括號內配方。一般結果為：y＝a[x＋b／(2a)]²＋c－b²／(4a)。因此頂點的橫座標 h＝－b／(2a)，縱座標 k＝f(h)＝c－b²／(4a)。 頂點公式適合快速檢查：以 x²＋4x＋3 為例，h＝－4／(2×1)＝－2，k＝f(－2)＝4－8＋3＝－1，與配方結果一致。申論作答若使用配方法，宜保留「補成完全平方」及「寫出頂點」的步驟，讓計算過程清楚可見。 二、水平與垂直平移：先改輸入，再改輸出 設原函數為 y＝f(x)，平移後為 y＝g(x)。水平平移改變括號內的 x，垂直平移則在整個函數外加減常數。下表中的 r、s 均為正數。 平移方向新函數頂點的改變 向右 r 單位g(x)＝f(x－r)(h，k) → (h＋r，k) 向左 r 單位g(x)＝f(x＋r)(h，k) → (h－r，k) 向上 s 單位g(x)＝f(x)＋s(h，k) → (h，k＋s) 向下 s 單位g(x)＝f(x)－s(h，k) → (h，k－s) 若原式為 f(x)＝a(x－h)²＋k，向右 r、向下 s 單位後，g(x)＝f(x－r)－s＝a[x－(h＋r)]²＋k－s。平移只改變位置，二次項係數 a 不變，因此開口方向及寬窄也不變。 例如，f(x)＝(x＋2)²＋2 的頂點在 (－2，2)。向右 2 單位：把 x 換成 x－2，得 (x－2＋2)²＋2＝x²＋2；再向下 2 單位：整個減 2，得 g(x)＝x²，頂點移到 (0，0)。用「頂點移動」檢查：(－2＋2，2－2)＝(0，0)，a＝1 不變，結果相同。兩種方法可互相驗算。 三、平移後如何求根：令新函數等於零 求 g(x)＝0 的根，就是找新圖形與 x 軸交點的橫座標。務必先求出平移後的新函數，再令它等於 0；若有垂直平移，不能只將原來的根左右移動就當成答案。 對頂點式 g(x)＝a(x－h)²＋k，令 g(x)＝0，可得：(x－h)²＝－k／a。依右側數值，便能判斷實根情形。 －k／a 的值相異實根個數圖形與 x 軸的關係 大於 0兩個，x＝h±√(－k／a)有兩個交點 等於 0一個，x＝h，為重根頂點恰在 x 軸上，與 x 軸相切 小於 0沒有實根沒有交點 例如 g(x)＝x²，令 x²＝0，只能得到 x＝0。雖然二次方程式可按重數計算為兩個根，但這兩個根相同；選項若問有哪些根，應判斷為只有 0 這一個相異實根，圖形在原點與 x 軸相切。 對照原函數 f(x)＝(x＋2)²＋2：最小值為 2＞0，圖形完全在 x 軸上方，f(x)＝0 沒有實根。可見平移（尤其是垂直平移）會改變根的情形，必須以新函數重新判斷。 四、頂點到水平直線的距離 水平直線 y＝t 上各點的縱座標皆為 t。點到直線的距離，是沿垂直於直線的方向所量得的最短距離。因此，頂點 (h，k) 到 y＝t 的垂足為 (h，t)，距離為d＝|k－t|。 這裡兩點的橫座標相同，所以只需計算縱座標之差的絕對值。例如頂點為 (－2，－1)，水平直線為 y＝3，則距離為 |－1－3|＝|－4|＝4。也可理解為從－1 到 0 有 1 單位，再從 0 到 3 有 3 單位，共 4 單位。 申論作答可依序寫出： 配方：f(x)＝x²＋4x＋4－4＋3＝(x＋2)²－1。 頂點：(－2，－1)。 距離：頂點到 y＝3 的距離＝|－1－3|＝4。 不要把頂點到水平直線的距離，誤算為頂點到某個指定點的距離，也不要用橫座標去減直線高度。 常考陷阱 括號內正負號直接照抄：看到 (x＋2)² 就寫頂點橫座標為 2。判斷關鍵是令括號等於 0，x＋2＝0 得 x＝－2。 配方補常數卻未扣回：將 x²＋4x＋3 寫成 (x＋2)²＋3，會使原式多出 4。補入 4 後必須減去 4，再與原常數合併，得 (x＋2)²－1。 距離計算的典型錯誤選項：誤用橫座標算 |－2－3|＝5；正負號處理錯誤算成 |－1＋3|＝2；只寫出頂點縱座標的大小 1。正確做法是頂點縱座標減直線高度取絕對值：|－1－3|＝4。 向右平移誤寫成 f(x＋r)：水平代換的符號與移動方向相反；向右應代入 x－r。完成後，可用頂點橫座標是否增加 r 檢查。 漏掉垂直平移：水平、垂直兩個方向都要處理。只做向右 2 單位會得到 x²＋2，誤判為「無根」；必須再向下 2 單位得 x²。 以為二次方程式一定有兩個不同實根：平方等於 0 時只有一個相異實根（重根）；平方等於負數時沒有實根。看到「兩個不同數值」的選項要先驗算是否真的使函數為 0，例如 x＝4 代入 x² 得 16，並非根。 用原圖形是否碰到 x 軸判斷新函數的根：向下平移可能使原本不碰 x 軸的圖形變成相切或相交，應以新函數重新判斷。 距離漏取絕對值，或誤用橫座標：距離不能是負數；到 y＝t 比較縱座標，到 x＝t 才比較橫座標。 記憶口訣 配方：一次係數取一半，平方補入再扣還。 平移：左加右減放裡面，上加下減放外面。 頂點：括號歸零找橫座標，括號外面讀縱座標。 水平線距離：高度相減取絕對值；求根：先平移，再令函數等於零。