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學習重點 看懂「至少一個」「兩個都」「都不」「一次……另一次……」等語句，正確轉成聯集、交集或補集。 掌握排容原理：兩集合「各自相加、交集扣回」；三集合還要把三者共同部分加回。 計算倍數個數時，以最小公倍數處理共同倍數，再用總個數減去倍數聯集，求出不屬於任何指定倍數的數量。 計算古典機率時，先建立等可能的樣本空間；多次試驗須區分先後順序，並檢查不同情況是否重疊。 核心觀念 一、先辨認事件，再決定加、減或取補集 把符合某條件的結果集合稱為事件。設 A、B 為兩事件，n(A) 表示事件 A 所含的結果個數，P(A) 表示事件 A 發生的機率。讀題時，先把文字翻成集合關係，再代入公式，較不容易被選項誤導。 題目用語集合意義判斷關鍵 至少一個成立、A 或 B聯集 A∪B包含只有 A、只有 B，以及兩者都成立。 兩者都成立、同時符合交集 A∩B必須同時滿足兩項條件。 兩者都不成立聯集的補集從全部結果扣掉至少一個成立的結果。 恰好一個成立只有 A 或只有 B不包含兩者都成立的部分。 「至少一個」與「恰好一個」不同。前者保留交集，後者排除交集。相同地，「不為任一指定整數的倍數」是指每一個指定整數都不能整除它，必須把所有指定倍數排除。 二、兩集合排容：相加後，扣掉重複部分 直接將 n(A) 與 n(B) 相加，交集中的每個結果都被算了兩次，因此要扣回一次： n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)。 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)。 若要找兩事件都不發生的機率，最直接的方法是取補集： P(兩者都不發生)＝1－P(A∪B)＝（全體－聯集人數）／全體。 例如，全體 40 人中，具甲條件 30 人、具乙條件 25 人、兩條件皆具 20 人，則至少具一項條件有 30＋25－20＝35 人；兩項都不具有 40－35＝5 人。從全體等可能抽取一人，所求機率為 5／40＝1／8。選項常以最簡分數呈現，算完記得約分。 也可以將全體分成四個互不重疊的區域：兩者皆具 20 人、只有甲 10 人、只有乙 5 人、兩者皆無 5 人。四區合計應為全體人數，可用來檢查計算。 若問「恰好一項成立」，則為 (30－20)＋(25－20)＝15 人。一般公式是 n(A)＋n(B)－2n(A∩B)，因為交集原本被算兩次，而現在一次也不能保留。 三、倍數計數：共同倍數看最小公倍數 在 1 到 N 的整數中，正整數 d 的倍數有 ⌊N／d⌋ 個；符號 ⌊ ⌋ 表示向下取整數。例如，1 到 1000 的 3 的倍數有 333 個，不能把 1000／3 四捨五入。 同時是 a 與 b 的倍數，等同於是它們的最小公倍數的倍數。只有在 a、b 互質時，最小公倍數才等於 ab；不能一律將兩數相乘。 三集合的排容公式為： n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A∩C)－n(B∩C)＋n(A∩B∩C)。 三者共同部分先被加了三次，再被兩兩交集扣了三次，暫時變成零次，所以最後須加回一次。 1 到 1000 的計數項目計算依據個數 2、3、5 的倍數分別向下取整數500、333、200 同時為 2、3 的倍數6 的倍數166 同時為 2、5 的倍數10 的倍數100 同時為 3、5 的倍數15 的倍數66 同時為 2、3、5 的倍數30 的倍數33 至少為其中一數倍數的個數是 500＋333＋200－166－100－66＋33＝734。因此，不為其中任何一數倍數的個數是 1000－734＝266。注意 1 不是 2、3、5 的倍數，必須保留。 若範圍改為正整數 L 到 U，包含兩端，則總個數為 U－L＋1，d 的倍數個數為 ⌊U／d⌋－⌊(L－1)／d⌋。使用 L－1，是為了保留可能符合條件的下界 L。 四、兩次擲骰：有順序的結果與事件聯集 均勻骰子獨立投擲兩次，以有序數對「第一次點數，第二次點數」記錄結果，共有 6×6＝36 個等可能結果。例如 (2，3) 與 (3，2) 是不同結果。古典機率就是「符合條件的結果數／全部等可能結果數」。 偶數點集合為 {2，4，6}，3 的倍數點集合為 {3，6}。要求一次出現偶數、另一次出現 3 的倍數，可分為： A：第一次為偶數，第二次為 3 的倍數，共 3×2＝6 個結果。 B：第一次為 3 的倍數，第二次為偶數，共 2×3＝6 個結果。 所求是 A∪B，但兩事件並不互斥。因為 6 同時是偶數與 3 的倍數，(6，6) 同時屬於 A、B，是唯一重複結果。因此有利結果共有 6＋6－1＝11 個，機率為 11／36。 也可用機率公式計算：(3／6)×(2／6)＋(2／6)×(3／6)－(1／6)×(1／6)＝11／36。兩次投擲的獨立性用來計算各種先後配置的機率；配置之間是否重複，仍須另外檢查。 常考陷阱 看到「或」就直接相加：只有互斥事件才能直接相加。一般聯集都要扣掉交集，否則會高估人數或機率。 把「都不」當成「不全都」：兩科都不及格是「至少一科及格」的補集；不是「兩科都及格」的補集。後者還包含只有一科及格的人。 算出人數忘了除以全體：機率題要的是比值，求出「都不」的人數後，還要除以全體人數並約分。 三集合只扣兩兩交集：這會漏掉三者共同部分，必須再加回三重交集。 非倍數直接逐項扣除：以總數減去各類倍數，卻沒有補回重複扣除的共同倍數，答案會偏小。先求倍數聯集，再取補集最穩妥。 倍數個數四捨五入或漏掉端點：倍數個數須向下取整數；區間總數要確認是否包含兩端，也不能自行把 0 加入從 1 開始的範圍。選項數字常只差 2，任何一項取整錯誤都會落入錯誤選項。 擲兩次骰子只算一種順序：只算「先偶數、後 3 的倍數」會漏算另一種配置（得 6／36）；但直接乘以 2 又會把 (6，6) 重算一次（得 12／36）。 把「一次……另一次……」解讀成互斥分類：此語句指定兩次結果各自滿足條件，沒有額外要求另一條件不能成立，因此 (6，6) 也符合。 把獨立與互斥混為一談：獨立描述一事件是否影響另一事件的機率；互斥描述能否同時發生。兩次投擲獨立，不代表兩種條件配置沒有交集。 記憶口訣 兩集相加扣重疊，三集再把共通添； 至少一個求聯集，全部都不補集算； 共同倍數找最小，倍數個數向下取； 多次試驗分先後，兩種配置查重複。