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學習重點 掌握交集的基本性質：兩個凸多邊形的重疊區域仍是凸多邊形，它的每一條邊都取自原圖形的邊。 利用正方形邊的平行與垂直關係，以及「兩張正方形大小相同」的條件，判斷重疊區域的邊數、角度與形狀。 知道兩個正方形的重疊區域最多有八條邊。三角形、等腰直角三角形、矩形、五邊形、八邊形都可能出現。 能說明兩件事：正三角形不可能出現；兩個全等正方形不能重疊出「恰有一組對邊平行」的梯形。 核心觀念 一、先確認研究的是「重疊部分」 重疊部分是兩張紙共同覆蓋的區域，也就是兩個正方形的交集。判斷時只看同時位於兩個正方形內部或邊界上的部分，只被其中一張紙蓋住的區域不算。 正方形是凸多邊形：在圖形內任取兩點，連接兩點的線段都完全落在圖形內。兩個凸圖形的交集也有這個性質。因此重疊部分只要有面積，就一定是凸多邊形，不會有凹角、孔洞，也不會分成兩塊。 題目說重疊部分形成多邊形，指的是有面積的情形。只接觸一個點、只接觸一條線段或完全沒有重疊，都不在討論範圍內。 二、交集的邊只能取自原來的八條邊 重疊區域的每一條邊，都是某個原正方形邊界上的一段，不會出現新的方向。兩個正方形各有四條邊，合計八條，所以交集最多有八條邊。共線而且相接的邊界要合併成一條邊計算。 另外有一個長度限制：交集的每一條邊都只是原正方形某條邊的一部分，所以每條邊的長度都不超過原邊長 s。這個條件是排除梯形的關鍵。 「最多八邊」只是邊數的上限，不能只看邊數就判定某個形狀可能。例如三角形只有三邊，仍要檢查它的內角是否符合正方形邊界的方向限制。 三、三角形交集必為直角三角形 交集若有三條邊，這三條邊分別來自兩個正方形，所以至少有兩條邊來自同一個正方形。同一正方形的對邊互相平行，不可能同時當三角形的兩邊。因此這兩條邊一定是同一正方形的相鄰兩邊，它們的夾角是直角。 結論是：三角形交集一定是直角三角形，直角頂點就是其中一張正方形的頂點。由此可知，三個內角都是 60° 的正三角形不可能出現。 等腰直角三角形的構造方法：把另一張正方形旋轉 45°，讓它的一條邊斜切第一張正方形的一個角，截出兩股等長的直角三角形。另一張正方形的其餘部分要落在第一張紙的外側。 兩股不等長的直角三角形同樣可以構造：斜切的角度改變即可，只要斜邊長不超過 s。所以三角形交集「必為直角三角形」，但不一定等腰。作答時只要抓住「必有直角」這一點，就足以排除正三角形。 四、四邊形要分清矩形與梯形 矩形可以形成。讓兩張正方形的對應邊保持平行，再把其中一張沿水平或鉛直方向平移，重疊部分就是矩形。兩個方向都做適當位移，可以得到長、寬不同的矩形。 本單元的梯形採國小常用定義：恰有一組對邊平行的四邊形。依這個定義，有兩組對邊平行的矩形不算梯形。 兩個全等正方形為何不能形成這種梯形？分兩種擺法討論： 兩張正方形的邊方向相同（對應邊平行）：所有邊界只有兩個互相垂直的方向，有面積的重疊區域必為矩形，有兩組平行對邊，不是梯形。 兩張正方形的邊方向不同：不同正方形的邊互不平行，所以梯形的一組平行對邊必來自同一張正方形的相對兩邊，兩邊的距離等於邊長 s。兩腰都要連接這兩條平行線。腰若垂直於底，長度等於 s；腰若傾斜，長度大於 s。梯形的兩腰不平行，至少有一腰是傾斜的，它的長度會超過 s。但交集的每一條邊長度都不超過 s，兩者矛盾。 因此，兩個全等正方形的交集不可能是梯形，連直角梯形也不行。這個推理用到「大小相同」的條件，不能直接套用到大小不同的兩個正方形。 五、各種形狀的判斷總表 形狀是否可能判斷或構造重點 等腰直角三角形可能另一張紙旋轉 45°，用一條邊斜切第一張紙的一個角。 一般直角三角形可能改變斜切角度，斜邊長不超過 s 即可。 正三角形不可能三角形交集必有直角，與 60° 的內角不符。 矩形可能兩張紙的對應邊保持平行，再做平移。 梯形（恰一組對邊平行）不可能平行兩底的距離等於 s，傾斜的腰會超過 s，違反邊長限制。 五邊形可能把一張紙稍微旋轉並平移，使它切掉另一張紙的一個角，交集共有五段邊界。 八邊形可能兩張紙中心重合，其中一張旋轉 45°，兩張紙的四個角互相截去。 中心重合並旋轉 45° 時，兩張正方形的八條邊都成為交集的邊界，形成八邊形，正好達到「最多八邊」的上限。 常考陷阱 「三角形都只有三邊，所以正三角形也可以。」錯。邊數相同不代表角度條件相同。三角形交集中，同一張正方形提供的兩條相鄰邊必形成直角，因此正三角形不可能。 「三角形交集一定是等腰直角三角形。」錯。三角形交集一定是直角三角形，但不一定等腰。等腰直角三角形只是其中一種可能，所以它出現在選項時要判為「可能」。 「兩張正方形都是直角，交集的每個角也都是直角。」錯。兩張紙的邊可以斜交，產生其他角度。只有同一張正方形的相鄰邊才保證垂直。 「正方形只有四邊，重疊部分不可能超過四邊。」錯。交集可以同時用到兩張紙的邊界，所以能形成五邊形，最多可到八邊形。 「梯形看起來很普通，應該做得出來。」不能只憑直覺。要檢查平行兩底的間距與腰長：底的間距固定為 s，傾斜的腰必超過 s，所以全等正方形重疊不出梯形。 「矩形也是梯形，所以題目矛盾。」本單元的梯形採「恰有一組對邊平行」的定義，矩形另外歸類。矩形可能出現，梯形不可能出現。 「最多八邊，所以八邊形不可能真的出現。」錯。中心重合、旋轉 45° 就能做出八邊形，八邊形是「可能」的選項。 記憶口訣 交集仍凸，邊取原邊不超長；三角必直角，正三角免談；底距等於邊，斜腰太長梯形無；中心轉四五，八邊到頂。