阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 先觀察結構，再選比較策略：依序檢查分母是否相同、分子是否相同、能否利用整數部分或基準數（1/2、1）直接判斷，最後才考慮通分。 掌握二分之一基準：比較分子的兩倍與分母，即可判斷正分數大於、等於或小於 1/2；兩數分處 1/2 兩側時，可立即比出大小。 分辨「可以通分」與「最需要通分」：多數分數都能用通分比較，但若已有更直接的判斷依據，就不是最需要通分的情況。 配合學童已學內容：尚未學過整數相除得到小數時，應以分數意義、等值分數及整數大小進行比較，不以除法轉小數作為解題前提。 核心觀念 一、分數比較的共同前提 比較分數所表示的量，須以相同的單位整體為基礎。例如，同樣大小的兩張餅，其 1/2 才表示相同的量；若整張餅的大小不同，不能只看分數就斷定實際份量。本單元比較分數數值時，皆以相同單位整體理解，以下分子、分母均以正整數為討論範圍。 二、用 1/2 作為參照數 1/2 表示將整體平分成兩份後的一份。判斷 a/b 與 1/2 的關係，可將問題轉成「取到的份數是否超過全部份數的一半」。為避免分母的一半不是整數，可直接比較2a 與 b，不必將分數換成小數。 判斷條件與 1/2 的關係例子 分子的兩倍小於分母a/b ＜ 1/24/9：2 × 4 ＜ 9 分子的兩倍等於分母a/b ＝ 1/25/10：2 × 5 ＝ 10 分子的兩倍大於分母a/b ＞ 1/25/9：2 × 5 ＞ 9 最適合以 1/2 為基準的比較，是兩個分數分處 1/2 的兩側。例如，4/9 ＜ 1/2，而 6/11 ＞ 1/2，因此立即得到 4/9 ＜ 6/11。若其中一個恰好等於 1/2，另一個在其上方或下方，也能直接比較。 若兩個分數都大於 1/2，或都小於 1/2，僅知道它們與基準的關係，還不能決定彼此大小。例如，3/5 與 5/8 都大於 1/2，仍須另找比較依據。若進一步比較兩者與 1/2 的差距，也可能判斷大小，但須確認差距本身是否容易比較，不能把「同在一側」當成已完成比較。 三、適合以 1/2 為參照數的布題 判斷某個比較問題是否適合以 1/2 為參照數，可依下列條件檢查： 分處兩側：一個分數明顯不到一半、另一個明顯超過一半（或其一恰為 1/2）。 分母、分子都不同：若分母相同或分子相同，學童直接比分子或比分母即可，不需要借助基準數，這類題目就不是在練習 1/2 參照。 兩數都在 0 與 1 之間較典型：若一個小於 1、另一個大於 1，以 1 為基準更直接；若整數部分不同，看整數部分即可。 因此，選項中若兩數同在 1/2 的同一側、或同分母、同分子，都不是以 1/2 為參照數的理想布題。 四、依分子、分母及整數部分選策略 分數特徵判斷方法理由或例子 分母相同分子大的分數較大每份大小相同，份數越多，總量越大。如 11/4 ＜ 13/4。 分子相同分母小的分數較大同一整體分得越少份，每份越大；取相同份數時，總量越大。如 11/4 ＞ 11/5。 整數部分不同整數部分大的較大先將假分數化為帶分數。如 11/4 ＝ 2 又 3/4，13/3 ＝ 4 又 1/3，因此前者較小。 一個小於 1、一個大於 1以 1 為基準直接比較真分數 ＜ 1 ≤ 假分數，如 5/6 ＜ 7/6。 分處 1/2 兩側利用大小關係直接比較若甲 ＜ 1/2 ＜ 乙，則甲 ＜ 乙。 以上方法無法直接判斷考慮通分將分數改寫成相同分母，再比較分子。 比較整數部分時，必須先正確化成帶分數，且分數部分須小於 1。若兩者整數部分相同，則只能確定它們位於同一個整數區間，仍須比較分數部分。例如，2 又 3/4 與 2 又 5/7 的大小，取決於 3/4 與 5/7。 五、何時最需要通分 「最需要通分」是在評估哪一組最缺乏其他直接、簡便的比較依據，不是問哪一組能使用通分。分母不同本身並不充分；還要排除同分母、同分子、整數部分不同、分處基準兩側等情形。符合「分子、分母都不同，整數部分相同，且分數部分同在 1/2 同一側」的那一組，通常就是答案。 例如，11/4 與 19/7 的分子、分母都不同，化為帶分數後分別是 2 又 3/4 與 2 又 5/7，整數部分相同；兩個分數部分也都大於 1/2，不能只靠此基準決定大小。此時通分便是直接可靠的策略。 以 28 為共同分母，可得 11/4 ＝ 77/28，19/7 ＝ 76/28，因此 11/4 ＞ 19/7。也可只通分其分數部分：3/4 ＝ 21/28，5/7 ＝ 20/28，得到相同結論。共同分母使用最小公倍數通常較省計算，但任何正的公倍數都可使用。 六、符合學童程度的布題與解法 若教學目標是讓學童運用 1/2 作為參照數，布題應讓學童容易看出「一個不到一半，另一個超過一半」，並能說明判斷理由。題目的重點是建立分數量感與大小關係，而非一律套用計算程序。 若學童尚未學過整數相除得到小數，仍可透過等分圖像、同分母與同分子比較、假分數化帶分數、基準數及通分完成判斷。不必轉成小數，不代表每一組都必須通分。 常考陷阱 「分母不同，所以一定要通分」：先檢查分子是否相同、整數部分是否不同，或是否分處 1/2 兩側；這些都可能直接決定大小。 「分子越大，分數越大」：只有分母相同時才能直接使用。分母也不同時，須同時考慮每份大小與所取份數。 「分母越大，分數越小」：此規則用於分子相同的正分數比較，不能任意套用到不同分子的情況。 「兩個都超過一半，分子較大的就較大」：同在基準的一側，尚未建立彼此的大小關係；應改用其他策略。 「同分母的題目也適合用 1/2 參照」：同分母或同分子的題目直接比較即可，不是練習 1/2 參照數的理想布題。 「分子不到分母，所以不到一半」：分子小於分母只能判定小於 1；判斷是否小於 1/2，應比較分子的兩倍與分母。 「整數部分相同，所以兩個分數相等」：整數部分相同時，大小由分數部分決定；只有整數部分與分數部分都相等，數值才相等。 「通分就是分母改成一樣」：分母乘幾倍，分子也須乘相同倍數，才能保持原分數的值。 「最需要通分」等於「只有通分才能解」：應依學童程度與選項結構，挑出通分最有必要、最合適的一組，不必宣稱其他數學方法完全不可行。 記憶口訣 同母比分子，同子反看母；整數先分高下，基準看在兩側；仍難判大小，再來做通分。 判斷一半：分子乘二，和分母比；小就不到，大就超過，相等正好。