和的平方公式與位值展開

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建立於 2026年11月10日

學習重點 熟用和的平方公式：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，特別注意不可漏掉中間的交叉項。 將接近整萬的數拆成「10⁴＋個位數」，把大數平方轉換成三個容易計算的部分。 依十進位位值排列展開結果，正確處理補零、對齊與進位。 區分「整數的各位數字總和」與「展開各項的數值總和」，並用除以9的餘數檢查計算結果。 核心觀念 一、和的平方：兩個平方加上兩倍乘積 平方表示一個數與自己相乘，因此可由分配律推得： (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²。 中間的2ab來自兩次相同的乘積，是公式不可缺少的一部分。「和的平方」不等於「平方的和」；例如(a＋b)²通常不等於a²＋b²，只有ab＝0時兩者才相等。 遇到接近整十、整百或整萬的數，優先拆成「整數基準＋小數量」。例如，將2003拆成2000＋3，就能用2000²、2×2000×3與3²完成平方，不必直接進行四位數乘法。 二、整萬附近的平方：用10的次方看位值 對於形如10⁴＋k的整數，套用公式可得： (10⁴＋k)²＝10⁸＋2k×10⁴＋k²。 三個部分各有意義：10⁸是整萬部分的平方；2k×10⁴是交叉項；k²是個位數部分的平方。要注意，(10⁴)²＝10⁸，因為同底數冪相乘時指數相加；交叉項則仍含有10⁴，不能誤寫成10⁸。 展開部分數值形式計算關鍵 第一項10⁸1位於億位，其餘位數為0 交叉項2k×10⁴先算2k，再依萬的位值放置 末項k²可能是兩位數，不一定只占個位 這類計算真正容易出錯的地方，通常不是乘法，而是把展開各項放到正確位值。例如6×10⁴＝60000，其中6位於萬位；8×10⁴＝80000，其中8同樣位於萬位；10×10⁴＝100000，此時1位於十萬位、萬位為0。 三、四位一組：補零是為了保留位值 以萬為一組，可以把平方結果看成「高位組｜中間組｜低位組」。當0≤2k＜10000且0≤k²＜10000時，結果可寫成： 1｜將2k補成四位｜將k²補成四位。 這裡的直線只是分組記號，不是運算符號。中間組與低位組都必須保留四位，才能分別對應萬位到千萬位，以及個位到千位。以k＝2示範： (10⁴＋2)²＝10⁸＋4×10⁴＋4分組表示為1｜0004｜0004，合起來是100040004。 若把低位組的4直接接在中間組後面而省略補零，就會改變數值。零雖然不增加數字總和，卻決定其他數字所在的位值。若某一組超過9999，便須向前一組進位，不能直接拼接；對本單元所涉及的小個位數，使用四位分組即可清楚排列。 依此方法可直接寫出： 10003²＝1｜0006｜0009＝100060009 10004²＝1｜0008｜0016＝100080016 10005²＝1｜0010｜0025＝100100025 四、各位數字總和：先拆數字，再相加 「各位數字總和」是將整數十進位表示中的每一個數字相加。例如407016的各位數字總和為4＋0＋7＋0＋1＋6＝18。它不是各位數字所代表數值的總和，也不是將原數反覆相加到只剩一位。 對10⁴＋k的平方，若各組沒有重疊進位，可以分別計算高位組、中間組與低位組的數字總和，再加起來： 數字總和＝1＋「2k的數字總和」＋「k²的數字總和」。 k中間組2k低位組k²數字總和的算法 3000600091＋6＋9＝16 4000800161＋8＋1＋6＝16 5001000251＋1＋0＋2＋5＝9 表中最重要的差別是：當k²為16或25時，要分成個別數字相加；當2k為10時，也要拆成1與0。不能把16、25或10當成單一數字直接加入。 補充：k＝1、2、3時，2k與k²都是一位數，數字總和恰好等於1＋2k＋k²＝(1＋k)²，分別為4、9、16；從k＝4起，k²變成兩位數，這個捷徑就失效，必須回到逐位相加。 五、用除以9的餘數檢查，但不能取代正式計算 一個整數與其各位數字總和，除以9所得的餘數相同。原因是10、100、1000等10的正整數次方，除以9都餘1。因此可先求原數除以9的餘數，再平方並取餘數，檢查算出的數字總和是否一致。 例如10003除以9餘4，平方後4²＝16，除以9餘7，而數字總和16除以9也餘7，兩者一致；10005除以9餘6，6²＝36除以9餘0，數字總和9也除以9餘0。不過，餘數相同不代表數字總和相同；9、18與27除以9都餘0，不能只靠這項檢查判定確切答案。 常考陷阱 漏掉交叉項：把(10⁴＋k)²寫成10⁸＋k²。例如誤算10003²＝100000009，得到數字總和10。判斷時先確認展開式是否完整包含「前平方、兩倍乘積、後平方」。 交叉項忘記乘2：誤寫成k×10⁴。應先算2×10⁴×k，再安排位值。 只取其中一項：只算交叉項2k或末項k²（如k＝3時的6或9）就當作答案，忽略了最前面的1與其他數字。 把兩位數當成一個數字：看到末項16就直接加16，或看到25就直接加25。題目要的是各位數字總和，必須分別算1＋6或2＋5。 誤用1＋2k＋k²：這是展開係數的數值相加；k＝4時會得到1＋8＋16＝25，k＝5時會得到36，都不是正確的數字總和。只能在確認2k與k²都是一位數且沒有進位時直接使用。 用原數的數字總和代替：10004的數字總和是5，把5當答案，或再平方得25，都是錯的。「數字總和的平方」一般不等於「平方的數字總和」；10003時兩者恰好都是16，只是巧合。 零的數量寫錯：將各項直接接起來，沒有依位值補零。可改用四位一組，先保留每組四位，再合併成完整整數。 認為數字總和可以任意分項：兩數相加若發生進位，結果的數字總和可能改變。例如8與7的數字總和合計為15，但8＋7＝15的數字總和只有1＋5＝6。分組計算前，必須確認沒有跨組進位。 把數字總和再縮成一位數：若算得16，題目只要求數字總和就應停在16，不要再算1＋6＝7。 只靠大小或餘數猜答案：原數增加，平方的數字總和未必增加（10004²為16，10005²反而只有9）；除以9的餘數也只能用來檢查或刪除部分選項，例如9與27餘數相同，仍須實際展開才能確定。 記憶口訣 「前平方，後平方，中間兩倍乘一場。」提醒自己完整寫出a²＋2ab＋b²。 「先展開，再定位；遇兩位，拆數字。」先算三項並以四位一組對齊位值，再把每個數字逐一相加；最後用除以9的餘數檢查。