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學習重點 掌握圓形圖的基本關係：類別數量占總量的比例＝扇形圓心角占360°的比例。 熟練數量、分數、百分比與圓心角之間的換算，能依題目已知條件選擇計算方式。 由表格製作圓形圖（圓面積圖）時，先確認各項目的總量，再求指定項目的比例及角度。 當某項數量增加、其他項目不變時，同時更新該項數量與總量，重新計算圓心角。 分辨解題所需概念：圓形圖換算主要運用周角、分數與比例，不必計算扇形的實際面積。 核心觀念 一、一個圓代表全部，扇形代表其中一部分 圓形圖用整個圓表示資料的總量，各扇形表示不同類別占總量的部分。整個圓的圓心角合計為360°，所有類別的比例合計為1，百分比合計為100%。 設某類別數量為a、總量為T、圓心角為θ，則：a ÷ T＝θ ÷ 360°。這就是本單元所有換算的出發點。分子是「指定類別」，分母是「同一份資料的全部」，兩者必須對應同一個月份、同一個家庭或同一組統計資料。 理解這個關係需要三種概念：周角360°提供整體角度；分數概念表達部分占全部；比例概念連結數量比與角度比。 二、數量、比例與圓心角的換算 要求的量計算方式判斷重點 類別所占比例類別數量 ÷ 總量先確認全部包含哪些項目 類別百分比類別數量 ÷ 總量 × 100%百分比表示以100為基準的比例 類別圓心角類別數量 ÷ 總量 × 360°以部分占全部的比例分配360° 由角度求數量總量 × 圓心角 ÷ 360°先把角度換成占全圓的比例 由部分反求總量類別數量 ÷ 該類別所占比例部分數量與比例須屬於同一類別 1%對應3.6°。若已知某項占20%，其圓心角就是360° × 0.2＝72°；若已知某扇形為90°，則占全部的90 ÷ 360＝1/4＝25%。計算百分比時，應將20%視為0.2或20/100，不能直接把20當作比例代入。 常用對應可協助心算： 比例百分比圓心角 1/250%180° 1/3約33.3%120° 3/1030%108° 1/425%90° 1/520%72° 1/6約16.7%60° 1/812.5%45° 1/1010%36° 1/205%18° 遇到能約分的數量比，先約分再乘360°，通常較快且不易算錯。 三、由預算表求指定項目的角度 表格題的關鍵是先求總預算，再求指定項目占比。若表格列出各項金額，就將各項金額加總；若已列有總計，直接使用總計，不能把總計再加進各分項，否則會重複計算。 例如某份預算合計64,000元，其中一項為8,000元，該項占比為8,000 ÷ 64,000＝1/8，因此圓心角為45°。判斷角度時，依據的是金額占總金額的比例，不能依表格有幾個項目就平均分配角度；只有各項金額相等時，各扇形角度才相等。 算出角度後，可反向檢查：角度 ÷ 360°應等於金額 ÷ 總金額，例如45°對應1/8、即12.5%。若選項中有54°、18°、32°等數值，多半是分母取錯或比例換算錯誤所致。 若圖表提供部分項目的角度或比例，也可利用全部角度共360°、全部比例共100%求出缺少的部分，再進行數量換算。 四、單一項目增加時，總量也要增加 這是本單元最重要的變化題型。設原總量為T，指定項目原數量為a，該項增加d，其他項目數量不變，則：新指定項目數量＝a＋d。新總量＝T＋d。新圓心角＝（a＋d）÷（T＋d）× 360°。 若原圖只標示圓心角或百分比，應先還原金額：原指定項目數量＝原總量 × 原圓心角 ÷ 360°（或原總量 × 百分比）。接著將增加額加入該項目與總量，最後求新的角度。依序寫出「原項目數量、新項目數量、新總量」，可避免漏改分母。 例一：原總量40,000元，某項原圓心角36°（即10%），原數量為4,000元；該項增加8,000元，新數量為12,000元，新總量為48,000元，新比例為12,000 ÷ 48,000＝1/4，故新圓心角為90°。 例二：原總量50,000元，某項原占10%（36°），原數量為5,000元；該項增加10,000元，新數量為15,000元，新總量為60,000元，新比例為1/4，新圓心角同樣為90°。 例三：原總量30,000元，某項占20%，原數量為6,000元；若該項增加6,000元，新數量為12,000元，新總量為36,000元，新比例為1/3，故新圓心角為120°。 其他項目金額不變，不代表其比例與角度不變。總量增加後，其他項目的金額雖相同，占新總量的比例卻會降低，因此角度也會縮小。 五、圓形圖與扇形面積的關係 在同一個圓內，扇形面積占全圓面積的比例，確實等於其圓心角占360°的比例。因此即使題目稱為「圓面積圖」，仍可直接依數量比例求圓心角。 但若只問數量、百分比或圓心角，不需要知道半徑，也不需要使用πr²或計算扇形的實際面積。要分清楚「圖形以扇形呈現資料」與「解題必須計算扇形面積」是不同的事。題目問「解此類問題最不需要用到哪個概念」時，周角360°、分數概念、比例概念都是必要的，扇形面積才是不需要的概念。 常考陷阱 只增加分子，仍除以舊總量：寫成（原項目數量＋增加額）÷ 原總量。例如15,000 ÷ 50,000 × 360°＝108°、12,000 ÷ 40,000 × 360°＝108°，都是漏改分母的錯誤答案。只要其他項目不變，該項增加多少，總量就增加多少，分母必須同步更新。 只算增加額所占的角度：以增加額除以新總量，求到的只是增加部分的占比，例如10,000 ÷ 60,000 × 360°＝60°、8,000 ÷ 48,000 × 360°＝60°。若問整個項目的新角度，分子必須包含原有數量。 只看原角度或原比例：直接選原圖上的36°或以原比例作答，忽略了金額已經改變。 把金額增幅直接當成角度增幅：某項金額變為3倍，不能據此認定角度也變為3倍（36°×3＝108°是錯的），因為總量也改變了。角度取決於新的部分與全部之比。 把「其餘項目不變」解讀成角度不變：題目所指通常是金額不變。新總量增加後，其餘項目的角度應縮小，可用來檢查答案是否合理。 把圓形圖當成180°或100°：完整圓形的角度為360°；100是百分比的基準，180°則是平角。換算時要辨明單位。 按項目個數平均分配：類別數相同不代表數量相同。指定項目的角度應由其數量占總量的比例決定。 看到扇形就套面積公式：問圓心角時先用比例；若選項要求判斷最不需要的概念，應檢查是否真的需要計算面積，而非僅看圖形名稱。 記憶口訣 部分除全部，再乘三六〇；金額有增加，分母也要加。 先還原數量，再更新總量，最後換角度。