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學習重點 能把上視圖、前視圖與右視圖互相對照，判讀單位正方體的位置與堆疊高度，並注意遮蔽造成的資訊限制。 能以「逐面計數」、「相接面扣除」、「高度差」或「投影法」計算正方體組合形體的表面積，並分清面積與體積。 理解直圓柱的表面由兩個圓形底面與一個側面組成，側面沿高剪開攤平後是長方形，據此判斷學習圓柱表面積所需的先備知識。 能說明複合長方體表面積算式的幾何意義，掌握「底面周長乘以高＝側面積」與「接觸面不外露」兩項關鍵。 核心觀念 一、三視圖：先看位置，再看高度 三視圖是從指定方向觀察立體所得的平面圖。同一個立體的三張圖必須一起判讀，不能把其中一張圖直接當成立體的全部結構。 視圖觀察方向主要提供的資訊 上視圖由上往下看左右、前後方向的占位情形；單靠輪廓無法得知各位置的高度。 前視圖由前往後看左右位置與高度；同一直線上的後方方塊可能被前方遮住。 右視圖由右往左看前後位置與高度；須依圖示確認前、後方向。 若方塊都是從底面向上連續堆疊，可將上視圖每個位置記成一個高度，形成「高度表」。前視圖各欄的輪廓高度，是對應前後一列高度的最大值；右視圖則取對應左右一列的最大值。 作答步驟：先依上視圖列出有方塊的位置，再用前、右視圖限制各位置高度，最後逐一檢查三張圖是否都吻合。三視圖不一定能唯一決定立體；不能只因某一列最高為三層，就認定該列每個位置都堆三層。若圖示另有內部線條或其他條件，也必須一併使用。 二、單位正方體組合形體的表面積 體積為 1 立方公分的正方體，邊長是 1 公分，每個面的面積是 1 平方公分。因此組合形體的表面積，就是所有外露單位正方形面的總數，單位為平方公分。方塊個數對應體積，不能直接當成表面積。 方法一：逐面計數。將朝上、朝下、朝前、朝後、朝左、朝右的外露面分別計算後相加。求整個立體表面積時，底面也要算；不能因為形體放在桌面上就自行刪除朝下的面。凹入處或階梯處只要沒有與其他方塊相接，仍屬外露表面。 方法二：相接面扣除。若共有 N 個單位正方體，且有 C 對方塊以完整面相接，則表面積為6N－2C。每一對相接會把兩個面藏在內部，所以要減 2；只碰到邊或頂點，不算完整面相接。 方法三：高度差計算。適用於由底面連續向上堆疊、沒有懸空或內部空洞的形體。若上視圖有 K 個占位格，上、下表面合計為 2K；相鄰兩柱的側面外露量為兩柱高度差的絕對值，外圍則視為與高度 0 的空格相鄰。將每條格線邊界的高度差各算一次，再加上 2K，即得表面積。 方法四：投影法（快速估算）。上與下、前與後、左與右的外露面，投影後分別看到相同的圖形，因此在沒有被遮住的凹槽、隧道或懸空凹面時： 表面積＝2×（上視圖格數＋前視圖格數＋右視圖格數） 此法速度快，但只有在每一個外露面都能從六個方向之一「直接看到」時才成立；若形體有夾在中間的凹陷（例如兩側高、中間低而被前方遮住的位置），投影會漏算，此時要回到逐面計數或高度差計算。 計算後可交叉檢查：由 6N－2C 可知，完整單位正方體組成的形體，其表面積數值必為偶數。但偶數只能作為檢查條件，不能用來直接決定答案。 三、圓柱體表面積與展開圖 本單元的圓柱以直圓柱為討論對象。封閉圓柱的表面包含兩個全等的圓形底面，以及一個側面。沿側面的一條高剪開並攤平，側面會成為長方形；長方形的一邊等於底面圓周長，另一邊等於圓柱高。 若底面半徑為 r、高為 h，則： 兩個底面的面積合計：2πr²。 側面積：底面圓周長乘以高，即 2πrh。 封閉圓柱的表面積：2πr²＋2πrh。 由此可整理學習圓柱表面積所需的先備知識： 先備知識是否必要理由 認識圓柱體的展開圖必要要知道表面由兩圓一長方形組成。 計算圓面積必要兩個底面是圓。 計算長方形面積必要側面展開是長方形。 圓周長必要長方形的一邊就是底面圓周長。 計算扇形面積不需要圓柱展開圖中沒有扇形；扇形是圓錐側面展開後的形狀。 四、複合長方體：讀懂算式對應哪些面 長方體以某一長方形為底面時，四個側面的面積相加，可寫成底面周長乘以高。例如底面長 10 公分、寬 5 公分、高 6 公分，四個側面的面積為： （10＋5＋10＋5）×6＝180 平方公分。 括號中的四個數是底面四條邊的長度（即底面周長 30 公分），乘以高 6 公分，就是把前、後、左、右四個側面的面積合併計算。申論作答可寫成：「上方小長方體（底面長 10 公分、寬 5 公分、高 6 公分）的四個側面面積總和，即底面周長×高＝側面積。」這一項不包含該長方體的頂面與底面。 同理，（15＋8＋15＋8）×10 是下方大長方體（底面 15 公分×8 公分、高 10 公分）的四個側面面積總和。 小長方體直立疊在大長方體上、且小長方體底面完全落在大長方體頂面內時，大長方體頂面被遮住的面積，恰好等於小長方體頂面面積。因此「大長方體頂面未被遮住的部分＋小長方體頂面」合計仍為 15×8；再加上大長方體底面，水平面的總面積便是15×8×2。這是外露面積的等量替換（俗稱「平移法」），並不是把內部接觸面計入。 算式部分幾何意義 （10＋5＋10＋5）×6小長方體四個側面面積和 （15＋8＋15＋8）×10大長方體四個側面面積和 15×8×2由上往下看與由下往上看的所有水平外露面（頂面平移合併＋底面） 常考陷阱 題目問「最不可能」是先備知識：要選與該主題無關的選項；圓柱表面積用不到扇形面積，別把圓錐的展開圖混進來。 認為圓柱側面展開後是扇形：圓柱側面展開為長方形；對應圓周長的邊不能誤用直徑或半徑。 把三視圖輪廓高度當成每一柱的高度：輪廓反映觀察方向上的最大高度，仍須配合其他視圖判斷。 投影法不檢查條件：2×（三視圖格數和）只適用於沒有被遮住凹面的形體；有隱藏凹槽時會少算。 選項數字誤用：只算單面視圖格數、三視圖格數總和或方塊個數的數字，常被放成錯誤選項；表面積要數全部外露面，並寫平方單位。 相接一次只減一個面：兩方塊完整面相接時，雙方各藏住一個面，合計應減 2。 忘記算底面：求立體表面積時，貼著桌面的底面仍要計入。 把底面周長乘以高說成整個長方體表面積：此式只有四個側面的面積；頂、底面另計。 複合形體直接相加兩個完整表面積：若用此法，須扣除兩倍接觸面積；直接加總外露面時，則不可再重複扣除。 套用水平面替換卻未檢查條件：上層底面須完全落在下層頂面內，才能把所有水平面合併成大長方體頂、底面各一個。 記憶口訣 三視互相對，外露逐面算；相接藏兩面，周長乘高是側面。 圓柱兩圓一長方，長接圓周、寬接高；扇形屬圓錐，圓柱用不到。 疊放長方體：側面各自算，頂面平移合，上下乘以二。