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學習重點 理解帶分數表示「整數部分與真分數部分的和」，能依分母所代表的等分單位，正確轉為假分數。 利用長方形面積模型說明帶分數乘以整數，掌握整數部分、分數部分都要乘的理由，並能畫圖協助學生釐清錯誤。 熟練「先化假分數再相乘」與「利用分配律分開計算」兩種方法，並用估算檢查結果。 遇到含未知數 d 的帶分數乘法等式，先正確轉換帶分數，再依未知數所在位置整理等式，並代回驗算。 比較正確規則與錯誤規則的結果，判斷一道試題能否辨識學生「把整數 1 固定化為分子 10」的迷思。 核心觀念 一、帶分數化成假分數：整數要換成相同分母的單位 帶分數 a 又 b/c 表示 a＋b/c，其中 c 是正整數，且 0＜b＜c。轉換時，因為一個完整單位等於 c/c，所以 a 個完整單位等於 ac/c，再加上 b/c，得到： a 又 b/c＝a＋b/c＝ac/c＋b/c＝(ac＋b)/c。 例如，3 又 2/5 中，每個完整單位包含 5 個五分之一，3 個完整單位便包含 15 個五分之一；加上原來的 2 個五分之一，共有 17 個五分之一，因此等於 17/5。分母不變，是因為所數的分數單位沒有改變；分子改變，是因為單位的個數增加。 反過來，假分數化成帶分數時，以分子除以分母：商作整數部分，餘數作分子，原分母保留。若餘數為零，結果直接寫成整數。 二、帶分數乘以整數：相同的量取好幾份 帶分數乘以正整數 n，可理解為把同一個帶分數的量取 n 份。因為每一份都包含整數部分與分數部分，所以兩部分都必須重複 n 次： (a＋b/c)×n＝a×n＋(b/c)×n。 計算可採兩種方法，兩者的依據相同，結果也應一致。 方法計算方式理解重點 先化成假分數(ac＋b)/c×n＝[(ac＋b)×n]/c先統一用 c 分之一作單位，再把單位個數乘以 n。 利用分配律a×n＋(b×n)/c整數部分與分數部分都要乘以 n，最後再合併。 若分數部分相乘後成為假分數，還要將其中的完整單位併入整數部分。例如，1 又 3/4 乘以 3，可算成 3＋9/4＝5 又 1/4，不能把分數部分超過一個完整單位的情形漏掉。 以 2 又 1/4×3 為例：分配律算法為 2×3＋1/4×3＝6＋3/4＝6 又 3/4；假分數算法為 9/4×3＝27/4＝6 又 3/4，兩者一致。若寫成 2＋1/4×3＝2 又 3/4，就是只乘了分數部分的錯誤。 三、用長方形面積模型說明「兩部分都要乘」 面積模型的關鍵是先指定一個完整單位，再讓圖形的長、寬與算式相互對應。以長為 2 又 1/4、寬為 3 的長方形為例，可將長分成 2 與 1/4 兩段。分割後，左側長方形面積是 2×3，右側長方形面積是 1/4×3；兩塊相加才是原長方形的總面積。 也可以將寬分成三條，每條寬為 1。下表每一列代表一條，每個「完整單位」欄代表面積 1，最後一欄代表面積 1/4；實際手繪時，最後一欄的寬應為完整單位欄寬的四分之一。 橫條完整單位完整單位四分之一單位 第一條111/4 第二條111/4 第三條111/4 從圖中可數出：共有 6 個完整單位，以及 3 個四分之一單位，因此總面積為 6 又 3/4。若只把分數部分乘以 3，圖上便只留下 2 個完整單位，卻把三條中的另外 4 個完整單位漏掉了。 教學說明不能只寫「忘記乘整數」，應明確指出：乘以 3 表示整份量都取三次，因此每一條中的 2 個完整單位，也必須一起計入。圖示要標明單位、分割方式與各部分面積，才能讓錯誤與正確計算建立對應。 申論作答要點：（1）畫出三份相同的 2 又 1/4（或長 2 又 1/4、寬 3 的長方形），標出完整單位與 1/4 單位；（2）用顏色或框線區分「2×3＝6」與「1/4×3＝3/4」兩塊；（3）對照乙的算式，指出乙只算了一份的 2，漏掉另外兩份的整數部分，正確答案是 6 又 3/4。 四、由帶分數乘法等式求未知數 解含 d 的等式時，先把所有帶分數寫成假分數，再確認 d 位於分子、分母或乘數的位置，最後運用等式兩邊同加、同減、同乘或同除的原則求解。不能只看到分數，就不分結構地交叉相乘。 例如，若 (2 又 1/3)×4＝d/3，則先化為 (7/3)×4＝d/3，得到 28/3＝d/3，因此 d＝28。若 d 出現在分母，還須先注意 d 不得為零，並在求解後代回原式檢查。 選擇題的選項數值往往相近，可搭配兩種檢查：先估算，用整數部分相乘判斷大約範圍；再看細節，例如個位數、是否能被分母整除等，刪去不可能的選項。最後務必把所選的 d 代回原等式，確認兩邊相等。 五、迷思診斷：錯誤規則也可能碰巧得到正解 把整數「1」固定換成分子「10」，是將十進位的想法誤套到分數。正確觀念是：1 等於多少個單位分數，由分母決定。例如，1＝4/4，也等於 7/7；只有以十分之一為單位時，才寫成 10/10。 以 1 又 b/c 為例，正確轉換為 (c＋b)/c；上述錯誤規則則會得到 (10＋b)/c。判斷試題是否具有診斷力，應把兩種規則各算一次，再比較結果。 試題情形兩種規則的結果診斷意義 分母為 10正確結果與錯誤規則結果相同。只看答案，無法辨識學生是否使用此錯誤規則。 分母不是 10正確結果與錯誤規則結果不同。可用來辨識此特定迷思，配合計算過程更能確認原因。 題目不需要學生寫出轉換後的分子學生不必經過「1 化為幾分之幾」的步驟。錯誤規則沒有機會顯現，也無法診斷。 例如，1 又 3/10 化成 13/10，可能來自正確理解，也可能只是把 1 固定當成分子 10。答案正確，不代表概念必然正確。相對地，以非十分之一的分數單位設問，並要求學生寫出轉換結果，較能讓此錯誤規則顯現。 常考陷阱 只乘分數部分：把 (a＋b/c)×n 寫成 a＋(b/c)×n。判斷關鍵是乘號作用於整個帶分數，因此整數部分也要乘。 把帶分數看成乘法：a 又 b/c 表示 a＋b/c，不是 a×b/c。轉換前先寫出加法關係，可避免誤算。 整數固定換成分子 10：應依分母決定一個完整單位含有多少個單位分數，不能一律按十進位處理。 分子、分母同時乘以整數：分子與分母同乘同一個非零數，分數值不變；分數乘以整數則會改變其值，兩者不能混淆。 誤判「無法診斷」：重點不是題目難度，而是正確與錯誤規則會不會產生相同答案。兩者相同（如分母為 10）時，僅憑答案便無法區辨，這種選項就是「無法診斷」的答案。 面積圖缺少單位或比例：分數區塊必須相對於同一完整單位等分，且圖中要呈現整份量的重複，不能只重複分數區塊。 求出 d 就停止：選項數值相近時特別容易選錯，應代回完整原式核對；估算也可輔助檢查，例如大於 2 的數乘以 3，結果應大於 6。 記憶口訣 帶化假：整乘母，再加子，分母照原留。 整份乘：整數乘，分數乘，兩塊合起來。 看診斷：正錯各算；結果相同，答案難分。