平行、垂直與三角形高

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握平行與垂直的判斷依據，不以線條是否水平、鉛直或看起來相近作答。 區分「與一條直線垂直」和「過指定點作垂線」：前者有無限多條，後者在平面上恰有一條。 理解三角形的高由指定底邊決定，能在圖形旋轉後找出對應頂點、底邊所在直線與垂足。 辨識圖形方位、網格與熟悉程度對學童作答難度的影響，並據此選擇適合的評量圖示。 分清射線的端點與方向，以及「平分線段」和「垂直平分線」的條件差異。 核心觀念 一、平行與垂直：看幾何關係，不看紙面方向 在同一平面上，兩條相異直線無論向兩端延伸多遠都不相交，稱為平行；兩條直線相交形成直角，稱為互相垂直。平行與垂直都是兩條直線之間的關係，與圖形在紙上的擺放方向無關。 水平的兩條直線可以平行，斜放的兩條直線也可以平行；互相垂直的兩條直線不一定是一條水平、一條鉛直。整張圖一起旋轉，原有的平行關係和直角都會保留。 圖中若只畫出有限長的線段，應考慮它們所在直線延伸後的情形。兩條線段在圖內沒有碰到，不足以證明它們平行；延伸後仍可能相交。 二、垂線的唯一性：一定要看有沒有指定通過的點 平面幾何的基本性質是：過直線外一點，恰有一條直線與該直線垂直。「過指定點」是唯一性成立的關鍵條件。若只要求與某條直線垂直，沒有指定通過哪一點，就能在不同位置作出無限多條垂線，而且這些垂線彼此平行。 敘述條件直線條數判斷關鍵 與已知直線（或線段）垂直，未指定通過的點無限多條位置可以任意平移 過直線外一個指定點，與已知直線垂直恰有一條位置與方向都已固定 過直線上一個指定點，與該直線垂直（同一平面）恰有一條位置與方向都已固定 作答時應先找出對象、通過點、角度條件，再判斷是否唯一。不要看到「垂直」就認定只有一條。 三、三角形的高：先找底邊，再找對應頂點 三角形選定一邊為底邊後，從這條邊的對面頂點向底邊所在直線作垂線，頂點到垂足之間的線段就是對應的高，其長度就是高的長度。例如以邊 BC 為底，就從頂點 A 向直線 BC 作垂線。 「某邊上的高」是指以該邊為底所對應的高，不是沿著該邊畫一條線。三角形有三條邊，每一邊都可以當底，因此有三條對應的高；指定底邊後，對應的高就確定了。 認底邊：確認題目指定哪一條邊，不要自行改用畫面最下方的邊。 找頂點：找出不在這條底邊上的頂點。 作垂線：從該頂點向底邊所在直線作垂線，以直角判斷垂足。 取線段：取頂點與垂足之間的線段，作為這條底邊所對應的高。 銳角三角形的三條高都在三角形內部，垂足都落在各自的對邊上。鈍角三角形的部分高會落在三角形外，此時垂足在底邊的延長線上。高不一定通過底邊中點，也不一定平分頂角；除非另有條件，不能把高、中線與角平分線當成同一條線。 四、圖卡旋轉：幾何性質不變，辨識難度可能改變 同一張三角形圖卡換不同擺法，各邊長、各角大小和對應的高長都不變，但學童辨識高的難度可能不同。 較容易：指定底邊水平放在下方，對應頂點在上方。此時高呈現由上往下的鉛直線，符合學童最熟悉的「標準圖像」。 較困難：指定底邊傾斜，或擺在上方、頂點朝下。此時高不是由上往下的鉛直線，學童必須在心中轉換方位，才能看出垂直關係，最容易畫錯或找錯。 因此，數學性質相同，不代表學習上的難度相同，「都一樣難」通常不是正確判斷。比較不同擺法時，要看指定底邊和高的方向偏離學童熟悉圖像的程度，偏離越多就越難。解題時可以在心中旋轉圖形，把指定底邊想成水平線，再找從對應頂點垂直落下的線段，最後回到原圖確認直角關係。 五、平行圖形的辨識難度與差異化評量 辨識平行除了需要理解定義，也會受到圖形方位和視覺輔助影響。具有網格輔助、兩條線呈水平且容易對照的圖示，通常最容易辨認。網格提供共同的方向參照，學童比較容易看出兩線是否沿相同方向延伸、彼此距離是否處處相等。 圖示特徵辨識難度原因 有網格、兩線水平最容易方位熟悉，又有格線可以對照距離與方向 無網格、兩線水平中等方位熟悉，但缺少對照依據 兩線傾斜，或長短、位置錯開較難需要自行想像延伸並比較方向 對能力較弱的學童，應先使用方位熟悉、線條清楚且有網格輔助的圖形；之後再逐步改用沒有網格、線條傾斜或整體旋轉的圖形，檢查他們能否把平行概念運用到不同情境。網格只是辨識的輔助，平行的定義仍是同一平面上兩條相異直線延伸後不相交。 六、射線與平分：符號順序和附加條件不可漏看 射線有一個端點，向一個方向無限延伸。射線 AB 的寫法中，A 是端點，B 表示延伸方向。若 A、B 是相異點，射線 AB 與射線 BA 的端點不同，所以不是同一條射線。判斷兩種寫法是否代表同一條射線，要同時確認端點相同、延伸方向相同。例如點 C 在射線 AB 上且不是 A，射線 AB 與射線 AC 就是同一條射線。 「平分線段」和「垂直平分線」也不同。平分一條線段的直線只要通過它的中點即可，這樣的直線有無限多條；再加上垂直於該線段的條件，才得到唯一的垂直平分線。遇到「只有一條」的敘述，必須確認條件是否足以同時固定位置與方向。 常考陷阱 「兩條線沒有相交，所以平行」：圖內沒有交點不夠，還要考慮所在直線延伸後是否相交。 「斜放就不平行，不是一橫一直就不垂直」：紙面方向不是定義，應判斷延伸後的關係或是否形成直角。 「與某直線（線段）垂直的直線只有一條」：少了指定通過的點，可在不同位置作出無限多條垂線。 「平分線段的直線只有一條」：通過中點的直線有無限多條，加上垂直條件的垂直平分線才唯一。 「射線交換字母順序仍相同」：第一個字母是端點，交換順序就改變了端點，不是同一條射線。 「過直線外一點的垂線只有一條」是正確敘述：不要因為其他「只有一條」的選項是錯的，就連這句也一起否定。 「高就是朝紙面下方畫的線」：高必須垂直於指定底邊所在直線，不一定是鉛直方向。 「底邊中點連到頂點就是高」：這是中線的作法，必須確認垂直才能判定為高。 「同一圖形旋轉後，辨識難度都一樣」：幾何性質不變，但底邊傾斜或倒置、頂點朝下的擺法，對學童最困難。 「挑簡單的評量題，只看線條少不少」：還要比較方位是否熟悉、有沒有網格，以及平行關係是否容易對照。 記憶口訣 垂線唯一看定點；找高先底再頂點，直角落腳才算高。 旋轉不改平行垂直，擺法卻會改變難易；網格水平最好認，底邊歪斜最難找。