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學習重點 理解扇形是整個圓的一部分，面積由圓面積與圓心角所占的比例共同決定。 掌握扇形面積公式：扇形面積＝π×半徑平方×（圓心角÷360°），能說明每個因子的意義。 圓或圓心角相同的扇形，其面積比等於半徑比的平方，也等於直徑比的平方。 分辨公式理解所需的先備知識與公式的應用情境，尤其注意分數倍與圓形圖的差別。 核心觀念 一、扇形面積公式：先求整圓，再取其中一部分 扇形是由圓的兩條半徑與兩半徑之間的一段圓弧所圍成的圖形。整個圓的圓心角為360°；在同一個圓內，扇形的圓心角占整周的幾分之幾，其面積就占整圓面積的幾分之幾。 設半徑為r、圓心角為θ，則： 圓面積＝πr²扇形占整圓的比例＝θ÷360°扇形面積＝πr²×（θ÷360°） 例如，圓心角為90°的扇形，占整圓的90÷360＝1/4，所以面積是圓面積的1/4。理解公式的關鍵，是把「整體有多大」與「取其中多少」連結起來，而不只是背誦算式。 二、理解公式需要哪些先備知識？ 先備知識是指學習新概念之前，已經具備、能用來理解新概念的知識。判斷時應問：這個概念是否直接支撐公式中某一部分的意義？ 概念與扇形面積公式的關聯判斷重點 圓面積公式提供整圓面積πr²，作為計算扇形面積的基礎。要取整圓的一部分，先要知道整圓的面積。 圓周率的意義π是圓周長與直徑的比值，也是圓面積公式中的常數。理解π的意義，有助於理解圓面積及扇形面積公式。 分數倍的意義把整圓面積乘上θ/360，表示取整體面積的一部分。連結「占整圓多少」與「面積乘上多少」。 圓形圖的意義利用扇形呈現各部分占整體的比例，是相關的統計表示方式。屬於扇形概念的應用，不是理解扇形面積公式時必要的基礎，最不可能是先備知識。 圓形圖雖然會用到扇形與比例，但「與扇形有關」不代表「必須先學會，才能理解面積公式」。即使尚未學過圓形圖，仍可透過圓面積、圓周率、圓心角比例與分數倍理解扇形面積；反而是學會扇形與比例後，才更能理解圓形圖中各扇形大小的意義。 三、圓的面積比：長度比要平方 兩圓的半徑分別為r₁、r₂，面積比為πr₁²：πr₂²。約去共同的π，可得面積比＝r₁²：r₂²。因此，半徑比若為a：b，面積比就是a²：b²。 直徑是半徑的2倍，兩個圓的半徑比與直徑比相同，所以也能直接使用面積比＝直徑比的平方，不必先把每個直徑除以2。 例如，兩圓的直徑為9與12，直徑比9：12先化簡為3：4，面積比就是3²：4²＝9：16。也可以直接算9²：12²＝81：144，再同除以9得9：16，結果相同。這反映面積的平方關係：半徑或直徑變成原來的k倍，面積就變成原來的k²倍。 四、等圓心角扇形：共同的比例可以約去 兩個扇形若圓心角相同，其面積都等於各自圓面積乘上同一個比例。因此比較面積時，π與圓心角所占比例都可以約去，得到： 等圓心角扇形的面積比＝半徑比的平方＝直徑比的平方。 若兩個大小不同的圓，各自平均分成相同份數，每一份的圓心角就相同。例如兩種披薩各切成8等份，每份的圓心角都是360°÷8＝45°，面積都是各自整個披薩的1/8。因此，各取一片後，面積比仍與原來兩個整圓的面積比相同，也就是直徑比的平方。 作答時可依序檢查：是否等分、等分份數是否相同、比較時各取幾份。確認各取相同份數、且每份圓心角相同，才可直接將直徑比平方。 五、分清楚固定的是半徑，還是圓心角 比較條件面積比的求法 兩個圓半徑比或直徑比的平方。 圓心角相同的兩個扇形半徑比或直徑比的平方。 半徑相同的兩個扇形圓心角的比。 半徑與圓心角都不同比較「半徑平方×圓心角」，不能只看其中一項。 常考陷阱 把面積比直接寫成直徑比。長度與面積的倍率不同。直徑9與12，選項寫「9：12」或化簡後的「3：4」都只是長度比，必須平方成9：16。 認為各取一片，面積比就是1：1。「片數相同」只代表取出的數量相同；若原來的圓大小不同，即使每片占各自整圓的比例相同，實際面積仍不同。 認為同樣分成8份，每份就一樣大。等分保證的是同一個圓內各份面積相等；不同圓之間，每份面積還要看原圓大小。 以為切成8份要再乘或除以8才能比較。兩邊都是整圓的1/8，這個共同倍數在比中會約去，不影響面積比。 看到扇形就直接套半徑平方比。這個捷徑需要圓心角相同。若等分份數不同，或取出的份數不同，應先確認總圓心角，再用完整公式比較。 把直徑直接代入πr²。計算實際面積時，r必須是半徑；但只求兩圓或等圓心角扇形的面積比時，可以直接將直徑比平方。 只因圓形圖包含扇形，就認定它是必要先備知識。應檢查其是否直接支撐公式推導。圓面積、圓周率與分數倍的關聯更直接；圓形圖主要是比例的表示與應用，是「最不可能」的先備知識。 忽略比的前後順序。面積比必須依題目指定的比較順序書寫；前後互換，比值也會改變。 記憶口訣 「整圓面積乘占比；同角比面積，長度要平方。」 「先看角度同不同，再看半徑幾倍大；同份不等大，還要看原圓。」 「圓面積、圓周率、分數倍是地基；圓形圖是蓋好的房子。」