扇形與直線圖形的複合面積

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建立於 2026年11月10日

學習重點 辨認扇形的圓心、半徑與圓心角，並分清正方形的邊長、對角線與半圓的直徑。 掌握「整體減局部」：弓形用扇形減三角形，彎月形用半圓減弓形。 兩個圖形重疊時，共同區域會相消，可直接求兩個獨有區域的面積差。 運用垂足、直角三角形、畢氏定理及正方形內接於圓的性質，找出半徑與直線圖形的關係。 以代數式保留未知長度，分清「有方向的相減」與「相差多少」，並保留精確的 π。 核心觀念 一、先判讀圖形，再列面積公式 複合面積的關鍵不在於多背公式，而是把陰影區域改寫成幾個熟悉圖形的和或差。作答前先標出圓心、半徑、直徑、直角與重疊部分。每一條弧都要確認屬於哪一個圓，不同圓的半徑不能混用。 圖形面積判讀重點 扇形πr² × θ／360°θ 是圓心角，r 是該扇形的半徑。 四分之一圓πr²／4兩條半徑互相垂直，圓心角為 90°。 半圓πr²／2＝πd²／8d 是直徑，須先除以 2 才是半徑。 三角形底 × 高／2底與高必須互相垂直。 長方形長 × 寬使用相鄰兩邊，不可誤用對角線。 二、重疊區域的代數表示：共同部分相消 設長方形與扇形重疊，長方形獨有的部分為甲，共同部分為乙，扇形獨有的部分為丙。因為長方形面積＝甲＋乙、扇形面積＝乙＋丙，兩式相減可得： 甲－丙＝長方形面積－扇形面積。 所以即使乙的邊界是曲線、面積不易求，也不影響甲與丙的面積差。若圖上甲、丙的位置相反，相減順序也要跟著反過來。作答時應先確認每個區域分別屬於哪一個完整圖形。 長方形 ABDE 的相鄰邊 AB＝8、BD＝x，所以長方形面積為 8x。若四分之一圓的半徑記為 r，則兩圖形獨有部分的面積差為 ｜8x－πr²／4｜。接著依圖中圓心與半徑所在的線段，把 r 換成正確的已知長度或含 x 的式子。 例：若扇形半徑就是 AB＝8，扇形面積＝π × 8²／4＝16π，面積差為｜8x－16π｜。 例：若扇形半徑是 BD＝x，扇形面積＝πx²／4，面積差為｜8x－πx²／4｜。 題目若要求「甲減丙」，應依指定順序相減。若問「甲和丙相差多少」，指的是大減小，答案為非負數。只有在圖形或條件已能判定大小時，才可以去掉絕對值。例如甲在圖上明顯較大，就可以寫成 8x－16π。 三、圓上一點向兩條垂直半徑作高 設 O 為圓心，A 在圓上，從 A 向兩條互相垂直的半徑作垂線，垂足分別為 B、C。這時 OBAC 的四個角都是直角，所以是長方形，可得 OB＝AC、OC＝AB。OA 是長方形的對角線，同時也是圓的半徑。 令 OB＝u、OC＝v、OA＝r，可得： 長方形 OBAC 面積＝uv。 直角三角形 OBA 與 OCA 的面積都是 uv／2。 由畢氏定理，r²＝u²＋v²。已知兩邊即可求出第三邊，例如 u＝6、v＝8 時，r＝10。 長方形的兩條對角線等長，所以 BC＝OA＝r。題目若給 BC 的長度，就等於直接給了半徑。 若斜線部分是整個四分之一圓扣掉長方形，面積為 πr²／4－uv，也可以寫成 π（u²＋v²）／4－uv。若扣掉的只是其中一個直角三角形，則面積為 πr²／4－uv／2。務必依圖確認扣掉的是長方形還是三角形。 弧與長方形之間的剩餘部分若分成兩塊，兩塊合計仍可直接用四分之一圓減長方形求得，不必分別求角度。A 是圓上任意點，不代表它在圓弧中點，所以不能自行假設 u＝v，也不能把相關角度都當成 45°。 四、弓形面積：扇形減三角形 弓形是由一條弦及其對應的圓弧所圍成的區域。把弦的兩端與圓心相連，扇形就分成一個三角形和一個弓形，所以： 弓形面積＝扇形面積－三角形面積。 若弦的兩端對應的圓心角為 90°，三角形的兩條直角邊都是 r，弓形面積為 πr²／4－r²／2。 要確認減掉的是哪一個三角形：扇形中的三角形以圓心為頂點。若誤減整個正方形或長方形，就會把不屬於該扇形的區域也扣掉。 五、正方形內接於大圓與邊上的半圓 設正方形邊長為 s，外接大圓半徑為 R。正方形的對角線就是大圓的直徑，所以 s²＋s²＝（2R）²，得 R²＝s²／2。大圓的圓心就是正方形對角線的交點。以正方形一邊為直徑作半圓時，半圓的半徑為 s／2。 區域以邊長 s 表示的面積 外接大圓πs²／2 大圓的 90° 扇形（圓心與相鄰兩頂點）πs²／8 圓心與相鄰兩頂點形成的三角形s²／4 一邊與大圓小弧之間的弓形πs²／8－s²／4 以一邊為直徑的半圓πs²／8 半圓畫在正方形外側時，大圓的弧會把半圓切成兩塊：靠內的是弓形（在大圓內），靠外的是彎月形（在大圓外）。兩塊合起來就是一個半圓，所以彎月形面積為： πs²／8－（πs²／8－s²／4）＝s²／4。 彎月形面積恰好等於圓心與一邊所圍三角形的面積，π 完全消去。 代入時要先看清已知的是邊長還是對角線： 已知條件s²弓形面積彎月形面積 邊長 s＝2040050π－100100 對角線＝2020025π－5050 題目若只問「其中一個半圓」裡的灰色或斜線部分，就只算一塊。若陰影由四塊全等區域組成，先求一塊再乘以 4。四個弓形合計等於大圓減正方形，即 πs²／2－s²。 常考陷阱 把直徑直接當半徑代入：以邊長 s 為直徑的半圓面積是 πs²／8。寫成 πs²／2 會放大成正確值的 4 倍。 把正方形邊長當成大圓直徑：內接正方形的對角線才是大圓直徑，大圓半徑的平方是 s²／2，不是 s²／4。 分不清灰色與斜線各是哪一塊：在大圓內、貼著正方形邊的是弓形（含 π）；在大圓外的是彎月形（不含 π）。兩者合起來才是半圓。 把四分之一圓當成半圓：兩條半徑垂直代表圓心角 90°，面積要乘 1／4。 看到圓上任意點就假設對稱：垂直投影只能保證形成長方形，不能保證是正方形，也不能保證兩個小扇形等大。 忘了用對角線等長：長方形 OBAC 中 BC＝OA，可以直接當作半徑使用。 為求面積差而硬算重疊部分：兩個完整圖形相減時，共同部分會抵消，不需要另外求。 搞錯面積差的方向：先確認哪一區屬於長方形、哪一區屬於扇形。問「相差多少」時答案不可為負，大小不明時用絕對值表示。 去括號時漏改正負號：半圓－（扇形－三角形）應展開為半圓－扇形＋三角形。 把一塊與全部混淆：圖形有旋轉對稱時，要看清陰影涵蓋幾塊，不能看到四邊就一律乘 4。 以為有圓就一定留下 π：相同的扇形面積相減可能把 π 消去。題目要求「以 π 表示」時，也不必硬讓答案含有 π。 記憶口訣 先找圓心定半徑，再看直角切圖形；弓形扇減三角形，彎月半圓減弓形；重疊求差消共同，檢查正負與塊數。