指數律與科學記號

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建立於 2026年11月10日

學習重點 分清楚「負底數」與「負指數」：負底數的冪要看指數奇偶決定正負；負指數表示取倒數，不表示結果為負。 比較負底數的冪時，先判斷正負，再比較絕對值；負數的絕對值越大，數值越小。 熟悉指數律，能把負整數指數改寫為分數，並把 2 與 5 配成 10 來簡化計算。 掌握科學記號的係數範圍與指數意義，能在一般小數與科學記號之間正確轉換。 利用標準科學記號的十次方指數，判斷正整數的位數。 核心觀念 一、負底數的冪：先看括號，再看奇偶 計算冪時要先確認底數。以 (−1/2)ⁿ 為例，括號表示整個 −1/2 都是底數。偶數個負數相乘為正，奇數個負數相乘為負，因此： n 為偶數：(−1/2)ⁿ 為正數，例如 (−1/2)²＝1/4。 n 為奇數：(−1/2)ⁿ 為負數，例如 (−1/2)³＝−1/8。 括號不可省略。(−1/2)²＝1/4，但 −(1/2)²＝−1/4；後者是先算平方，再加上前面的負號，結果一律為負。 指數若是負整數，同樣先取倒數：(−1/2)⁻ⁿ＝(−2)ⁿ。正負仍由指數的奇偶決定，但絕對值會變成大於 1 的數。 寫法改寫結果正負 (−1/2)¹−1/2−1/2負 (−1/2)²(−1/2)×(−1/2)1/4正 (−1/2)³三個 −1/2 相乘−1/8負 (−1/2)⁵五個 −1/2 相乘−1/32負 (−1/2)⁻²(−2)²4正 (−1/2)⁻³(−2)³−8負 比較大小的步驟： 先依負數＜0＜正數篩選，最小值必定在負數（奇數次方）之中。 再比較這些負數的絕對值，絕對值最大的負數最小。 對 (−1/2) 的正整數次方而言，指數越大，絕對值越小：1/2＞1/8＞1/32；加上負號後順序反轉，成為 −1/2＜−1/8＜−1/32。所以在正整數奇數次方中，指數最小者的值最小。若出現負整數指數，如 (−1/2)⁻³＝−8，其絕對值大於 1，會比所有正整數次方的負值更小。無論選項如何呈現，都要看清楚底數、括號與指數，逐一算出或判斷正負與絕對值再比較。 二、負整數指數：表示倒數，不表示負數 對非零數 a 與正整數 n，a⁻ⁿ＝1/aⁿ。例如 2⁻³＝1/2³＝1/8。指數前面的負號決定取倒數；底數的正負與指數奇偶才決定結果的正負。 寫法運算意義結果 2⁻²2² 的倒數1/4 (−2)²兩個 −2 相乘4 (−2)⁻²(−2)² 的倒數1/4 −2²2² 的相反數−4 常用指數律：同底數相乘，指數相加；同底數相除，指數相減；冪再乘方，指數相乘；乘積的次方，可分別乘方後再相乘。涉及負指數或除法時，底數與分母不得為零。 遇到「2 的次方（或 4、8 等）乘以 5 的次方」的負指數算式，先改寫成分數，再把 2 與 5 配成 10： 例：8⁻²×5⁻³＝1/(8²×5³)。因為 8²＝2⁶，而 2⁶×5³＝2³×(2×5)³＝8×10³＝8000，所以原式＝1/8000＝0.000125＝1.25×10⁻⁴。 同理，4²＝2⁴，2⁴×5³＝2×10³＝2000，所以 4⁻²×5⁻³＝1/2000＝0.0005＝5×10⁻⁴。 注意：算出分母後要取倒數再轉成科學記號。1/2000 不是 2×10⁻³，而是 0.0005＝5×10⁻⁴；係數「2」與「5」、指數「−3」與「−4」都是容易混淆之處，最後可把答案乘回分母檢查：5×10⁻⁴×2000＝1。 三、科學記號：數值不變，係數必須標準化 正數的標準科學記號為 a×10ⁿ，其中 1≤a＜10，n 為整數。係數可以等於 1，但不能等於 10。若表示負數，則係數的絕對值須介於 1（含）與 10（不含）之間。 轉換時，先把小數點移到第一個非零數字的右側，得到符合範圍的係數，再用 10 的整數次方補償大小變化。 原數的情況取得標準係數的方法十次方的指數 大於或等於 10小數點向左移 k 位正指數 k 大於 0、小於 1小數點向右移 k 位負指數 −k 大於或等於 1、小於 10小數點不必移動0 例如 0.00002736 的小數點向右移 5 位，得到 2.736；係數因此變成原數的 10⁵ 倍，必須乘上 10⁻⁵ 才能維持原值，所以寫成 2.736×10⁻⁵。反向檢查時，將 2.736 的小數點向左移 5 位，應能還原原數。同理，0.00001999＝1.999×10⁻⁵。 快速判斷：小於 1 的小數，若小數點後、第一個非零數字前有 k 個 0，指數就是 −(k＋1)。0.00001999 小數點後有 4 個 0，指數為 −5。 轉換是精確改寫，沒有要求取近似值時，不得擅自刪除數字或四捨五入。有限小數也不能改成循環小數：1.999 是有限小數，而 1.9̅（9 無限循環）的值等於 2，兩者不相等。 四、科學記號與正整數位數 若一個正整數寫成標準科學記號 a×10ⁿ，其中 1≤a＜10、n 為非負整數，則它是 n＋1 位數。理由是該數大於或等於 10ⁿ（n＋1 位數中最小的數），但小於 10ⁿ⁺¹。 例如 3.42×10⁶＝3,420,000，是 7 位數；7.6×10⁷＝76,000,000，是 8 位數。直接由指數判斷：6＋1＝7、7＋1＝8。係數的小數位數只影響還原後的數字排列，不會改變位數。 套用前須確認係數已標準化。例如 34.2×10⁵ 應先改成 3.42×10⁶，再判斷為 7 位數，不能直接拿 5 加 1。對小於 1 的小數，不能用負指數加 1 求位數。 常考陷阱 看到負指數就選負值：10⁻⁵＝0.00001，仍是正數。負指數表示倒數，與數值為負不同。 忽略奇偶直接比絕對值：(−1/2) 的偶數次方為正，不可能是最小值；先挑出負值再比較。 認為指數越大，數值一定越大：底數介於 0 與 1 時，正整數次方的指數越大，絕對值越小；負底數還要先處理正負。 比較負數時沿用絕對值順序：−1/8 的絕對值比 −1/32 大，所以 −1/8 的數值更小。 混淆 (−1/2)ⁿ 與 −(1/2)ⁿ：沒有括號時負號不在底數內，結果一律為負。 指數差一位：0.00001999 寫成 1.999×10⁻⁶ 是錯的，因為只需右移 5 位；指數相差 1，數值就相差 10 倍，務必移回小數點檢查。 把有限小數寫成循環小數：1.9̅ 等於 2，不等於 1.999，這類選項一律不選。 倒數沒取或取錯：4⁻²×5⁻³ 的分母為 2000，答案是 1/2000＝5×10⁻⁴，不是 2×10⁻³ 或 2×10⁻⁴。 係數不在標準範圍：0.32×10⁴ 或 32×10² 都不是標準科學記號，應整理成 3.2×10³。 把乘積的指數任意相加：只有同底數相乘才能直接相加指數；不同底數應先改寫、分解質因數，或配成 10。 用係數的數字個數判斷位數：7.6×10⁷ 不是 2 位數，也不是 9 位數，而是指數加一的 8 位數。 記憶口訣 負底看奇偶，負冪取倒數；比較先看號，負數絕對值大反而小。 係數一到十，含一不含十；左移正、右移負；二五配成十，分母倒過來。 正整數看位數，標準指數再加一。