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學習重點 理解排水法的原理：物體完全浸沒時，排開水的體積等於物體的體積。 區分水位上升的「高度」與排開水的「體積」，能依容器底面積換算。 正確解讀量筒刻度：物體浸沒後的讀數，包含水與物體所占的體積。 能以代數表示量筒讀數與實際水量的關係，不直接用讀數的倍數推論水量的倍數。 辨別體積與重量，並選用重量、體積排序相反的物體，澄清「越重就排水越多」的迷思。 核心觀念 一、排水法測量的是物體占據的空間 不規則石頭難以直接套用長方體或圓柱體的體積公式，可以利用排水法測量。當石頭完全浸入水中，原本由水占據的部分空間改由石頭占據，水面因而上升，或使裝滿水的容器溢出一部分水。因此，完全浸沒的物體體積＝排開水的體積。 測量時應選用不溶於水、且不會因吸水而明顯改變測量結果的物體；操作時須使物體完全浸沒，並避免附著氣泡。若只有部分浸入水中，排水量只能代表浸入水中的部分體積，不能直接當成整個物體的體積。 二、兩種排水法：讀數差與溢出水量 方法操作與計算判斷重點 量筒讀數差先讀出原有水的體積，再放入物體，使其完全浸沒，以放入後讀數減去放入前讀數。物體體積＝後讀數－前讀數。 收集溢出的水將物體完全浸入已裝滿水的容器，完整收集並測量溢出的水量。物體體積＝所收集的溢出水量。 量筒法須預留足夠空間，避免放入物體後水溢出；溢水法則須確保容器起初已裝滿水，並完整收集溢出的水。兩者都在測量物體排開的水量，但量筒法讀的是前後差，溢水法量的是排出的水。 量筒應放在水平桌面，讀數時視線與液面同高；一般透明水的液面呈凹形，應讀取凹液面的最低處。體積常用毫升或立方公分表示，1 毫升＝1 立方公分。 測量不規則石頭時，「丟入有刻度且裝水的量筒，觀察水面上升的刻度變化」是最適合的方法；磅秤、空量筒、包覆材料等方式都測不到石頭的體積。 三、水位上升高度必須換算成體積 水位上升幾公分，描述的是長度；物體有幾立方公分，描述的是體積，兩者不能直接畫上等號。在直立、內部水平截面積固定的容器中： 物體體積＝容器內部底面積×水位上升高度＝底面積×（放入後水深－放入前水深）。 例如，內部底面為邊長 10 公分的正方形，水深由 5 公分升至 8 公分，排開水的體積就是 10×10×（8－5）＝300 立方公分。只回答「3」，就是把上升高度誤當成物體體積的迷思。 同一情境中還要分清楚其他數值的意義： 算式結果代表的量 8－53（公分）水位上升高度（長度，不是體積） 10×10×3300 立方公分物體體積（正確答案） 10×10×5500 立方公分原有水的體積 10×10×8800 立方公分水與物體的總體積 若題目提供的是已標示體積單位的量筒刻度，直接計算前後讀數差即可，不必再乘底面積。若容器上寬下窄、截面積會改變，也不能任取一個底面積乘水位差。 四、物體浸沒後，量筒讀數包含水與物體 量筒的刻度表示液面以下所對應的容積。放入完全浸沒的物體後，這段空間由水與物體共同占據，所以： 放入後讀數＝實際水體積＋浸沒物體體積。因此，實際水體積＝放入後讀數－物體體積。 若兩個量筒各有一顆體積相同的石頭，設每顆石頭的體積為 s，兩杯實際水量為 A、B，量筒讀數為 R甲、R乙，則 A＝R甲－s，B＝R乙－s。 當 R甲＝2R乙 時（例如讀數 40 與 20），由 A＋s＝2（B＋s），可得A＝2B＋s，也就是「甲杯水體積＝乙杯水體積的 2 倍＋石頭體積」。可見，讀數是兩倍，實際水量並不是直接兩倍；將較小讀數乘以二時，其中包含的石頭體積也被乘以二，扣回一個石頭體積後，才得到甲杯的水量。 相同體積的物體也帶來一個重要結果：A－B＝R甲－R乙。兩個讀數各減去相同的物體體積後，差不變，但倍數關係通常會改變。 五、排水量取決於體積，不由重量決定 物體完全浸沒時，排水量取決於它占據多少空間。重量較大的物體，體積不一定較大；例如密度較大的金屬塊，可以很重卻很小。因此，不能用磅秤讀數直接判斷物體的體積或排水量。 若要透過實際操作澄清「越重，排水越多」的迷思，應選擇重量與體積大小排序相反的一組物體： 組合重量比較體積（排水量）比較是否適合 小石頭（約 5 立方公分、14 公克）與鐵塊（約 4 立方公分、32 公克）鐵塊較重小石頭較大，排水較多適合 彈珠（約 6 立方公分、20 公克）與鐵塊（約 4 立方公分、32 公克）鐵塊較重彈珠較大，排水較多適合 小石頭（約 5 立方公分、14 公克）與彈珠（約 6 立方公分、20 公克）彈珠較重彈珠也較大不適合 適合的兩組中，較重的鐵塊完全浸沒後反而排水較少，學生依重量所做的預測與操作結果產生認知衝突，進而理解排水量取決於體積。若選用較重者同時也較大的兩個物體，觀察結果會同時符合「依重量判斷」與「依體積判斷」，便難以辨別學生的想法是否已修正。 申論作答應交代選用的物體、重量與體積的相反關係，以及預期排水結果如何澄清迷思；只需寫出一組適合的組合並說明理由即可。 六、故事情境要辨認真正測量的量 「烏鴉喝水」投入石頭使水位上升，是石頭占據空間、排開水的現象，觀察水面刻度的變化，即是透過「物體的體積等於排開水的體積」來測量不規則石頭的體積。 「曹沖秤象」則利用同一艘船達到相同吃水位置時，排水體積相同、船上載重相同的條件，以磚塊替代大象來求重量。船排開水的體積不是大象的體積，因此這種方法不是透過排水法測量不規則形體的體積。 常考陷阱 把水位上升高度直接當成體積：先檢查單位。公分是長度，立方公分才是體積；提供底面尺寸時，須先算底面積，再乘水位差。具迷思的學生會直接以上升高度的數字作答。 把原有水量或總量當成物體體積：底面積乘以原水深得到的是原有水的體積，乘以放入後水深得到的是水與物體的總體積，都不是物體體積。 把最後讀數當成物體體積：最後讀數包含原有水與物體，應減去放入前的水量；「觀察水上升的刻度」要理解為比較放入前後的讀數。 把讀數的倍數當成水量的倍數：先寫「讀數＝水量＋物體體積」，再做代數推導，尤其注意括號內的物體體積也要乘上倍數，常見錯誤選項包括「直接 2 倍」、「2 倍減石頭體積」、「2 倍加兩個石頭體積」。 用石頭最高處對應的刻度求體積：空量筒中的石頭頂端位置只反映高度，石頭周圍仍有空隙，不能代表石頭體積。 用重量或包覆材料的大小代替體積：磅秤測得重量；攤開保鮮膜測得的是面積，兩者都不能直接當成不規則石頭的體積。 認為較重的物體一定排水較多：完全浸沒時應比較體積。教學選材須讓重量與體積排序相反，才有助於揭露並修正迷思；較重者也較大的組合無法產生認知衝突。 看到水面刻度就判定是在測體積：還須辨認測量對象與目的。物體直接浸水求體積（烏鴉喝水）是排水法測體積；利用船的吃水位置替代秤重（曹沖秤象）是在測重量。 記憶口訣 「全浸沒，排水等體積；讀前後，相減才正確。」 「高度乘底面，才是體積量；讀數含物體，求水要減去。」 「重量體積反著選，排水比較破迷思。」 「烏鴉喝水量體積，曹沖秤象量重量。」