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學習重點 看懂「排除自己」的意思：每個人得到的數值，都是全體年齡總和減去自己的年齡。 掌握重複計數：有五個人時，每人的年齡都在其他四人的計算中出現，因此把全部排除和相加，得到全體年齡總和的四倍。 先由排除和的合計反推全體總和，再利用「個人年齡＝全體總和－該人的排除和」求解。 辨認大小順序相反的關係：排除和最小，代表被排除者的年齡最大；排除和最大，代表被排除者的年齡最小。 核心觀念 一、先定義總和，把文字改寫成減法 遇到每個人都把「其他人的年齡」加起來的問題，不必立刻設出五個未知數。先設全體年齡總和為 S，某人的年齡為 a，這個人算出的排除和就是： 排除和＝S－a 因為全體總和已經包含每個人的年齡，將自己除外，就只要從總和中扣掉自己的年齡。反過來說，只要知道 S，就能由某人的排除和求出他的年齡： 個人年齡＝S－自己的排除和 解題的真正關鍵，是先求出共同的全體總和 S。每個人的排除和雖然不同，背後減去個人年齡以前的總和卻完全相同。 二、用固定出現次數，反推全體總和 五個人各算一次排除和，每次加入四個人的年齡。此時要追蹤的是「同一個人的年齡，在全部計算中出現幾次」，而不是只看有幾筆結果。 以其中一人為例，他在自己計算時被排除，但其他四人計算時，都會把他的年齡加入。因此，他的年齡共出現四次；其餘每個人的情況也相同。把五筆排除和全部相加，就等於把每人的年齡都加了四次。 全部排除和的合計＝4S全體年齡總和 S＝全部排除和的合計÷4 本單元資料的排除和合計為 51＋52＋52＋54＋55＝264，所以全體年齡總和為 264÷4＝66。這個 66 才是五個人的實際年齡總和；264 是重複計入每人年齡四次後的合計。合計能被 4 整除，也是一個簡單的檢查點：若加總後除不盡，多半是加錯或漏加了某一筆。 推廣到 n 個人，若每個人都恰好提供一筆「排除自己、其餘全部相加」的結果，每人的數值便出現 n－1 次，因此： 全體總和＝全部排除和的合計÷（n－1） 使用公式前，要確認資料包含每個人的一次計算，且每次只排除自己。若有漏列、重複列入，或排除的人數不同，就不能直接套用。 三、總和固定，排除和與個人年齡反向排列 由「個人年齡＝S－排除和」可知，當 S 固定時，減去的數越小，剩下的年齡越大。也就是說，年齡最大的人被排除後，其他人留下的年齡總和最小。 要求的對象應使用的排除和計算方式 年齡最大者最小排除和全體總和－最小排除和 年齡最小者最大排除和全體總和－最大排除和 某一筆結果的計算者該筆排除和全體總和－該筆排除和 本單元先求得全體總和為 66，再扣除最小排除和 51，即得最大年齡為 66－51＝15 歲。要注意，51 是最大年齡者所算出的「其他人年齡總和」，並不是他的年齡。 四、相同的排除和必須保留，也能反映年齡相同 若兩筆排除和相同，表示兩個人分別從同一個全體總和中扣掉自己的年齡，得到相同結果，因此這兩人的年齡相同。 相同數值不代表重複資料。每一筆都對應一個人的計算，即使數值相同，合計時仍須分別加入。若擅自刪掉其中一筆，就會破壞「每人年齡出現四次」的計數關係。 解題時也不必知道每筆結果屬於哪個名字。只要要求的是最大或最小年齡，利用排除和的大小就足以判斷。 五、用差距與回代檢查答案 排除和的大小順序雖然與年齡相反，兩者的差距卻相同。較大的排除和減去較小的排除和，等於較大的年齡減去較小的年齡。因此，最大年齡與最小年齡的差＝最大排除和－最小排除和（本單元為 55－51＝4，對應 15－11＝4）。 若要完整驗算，可以用全體總和逐一減去各筆排除和，再檢查所得年齡加總是否回到 S： 排除和5152525455 年齡（66－排除和）1514141211 五人年齡加總 15＋14＋14＋12＋11＝66，與全體總和相符；排除 15 歲者後，其餘人的年齡合計為 51，符合最小排除和的條件。 常考陷阱 把排除和合計除以五：五代表結果的筆數，但每人的年齡只在其中四筆出現。264÷5＝52.8 只是排除和的平均數，並非全體年齡總和。 用最大排除和找最大年齡：這會把大小關係看反。66－55＝11 其實是最小年齡；求最大年齡應取最小排除和。 求得總和後再除以人數：66÷5＝13.2 是平均年齡，容易誘導選 13，但平均值不能直接當作最大年齡。最大值要由總和扣除最小排除和求得。 扣錯排除和：用 52 去扣會得到 14，那是第二大的年齡（有兩人同為 14 歲），不是最大者；求最大一定扣「最小」的那一筆。 看到相同數值就只算一次：數值相同仍可能來自不同的人。若只加 51、52、54、55，合計與總和都會算錯，必須保留全部五筆資料。 只由排除和的差求年齡：兩個排除和的差只能告訴我們對應年齡的差，無法單獨決定實際年齡；仍須先求全體總和。 憑選項猜合理年齡：13、14、15、16 等相近數字不能靠直覺挑選。依序完成「求排除和合計、除以四、扣最小排除和」，才能確定答案為 15。 記憶口訣 「排除和先加，除以人數減一；求大扣最小，求小扣最大。」 五人情境可直接記成：「五筆先加總，四除得全體；總和減最小，最大就找到。」