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學習重點 先辨識未知量的位置：加法改變類問題包含起始量、改變量與結果量。同樣是加法情境，未知量不同，解題難度與適用策略也不同。 掌握往上數的兩種用途：從已知起始量接續數，可以數固定次數求結果，也可以數到已知結果，求增加了多少。 判斷往上數最不適用的題型：起始量未知（□＋增加量＝結果量）時缺少出發點，是學童最不可能直接用往上數解決的類型。 分清楚表徵與求解：表徵要忠實呈現題目的數量關係；解題策略則說明如何找出未知量。 能寫、能畫、能操作：改變量未知問題可用含空格的加法算式、圖像、實物及語言呈現，也能用往上數、實物操作、減法或數字事實求解。 核心觀念 一、加法改變類問題：先找「原來、增加、後來」 加法改變類情境描述某個數量經過增加而產生變化，基本關係是：起始量＋增加量＝結果量。起始量是原來有多少，增加量是後來加入多少，結果量是增加後共有多少。作答時應先辨識這三個量，再判斷題目問的是哪一個。 未知量類型數量關係判斷關鍵 結果量未知起始量＋增加量＝□知道原來多少、又增加多少，問後來共有多少。 改變量未知起始量＋□＝結果量知道原來多少、後來多少，問中間增加多少。 起始量未知□＋增加量＝結果量知道增加多少、後來多少，問原來有多少。 例如，原有7個物件，加入一些後變成12個，已知起始量與結果量，未知的是增加量，也就是改變量。雖然可用減法求出答案，情境本身仍是數量增加的加法改變類問題。 二、往上數策略：保留起始量，再接續計數 往上數（counting on）是把已知數量保留在心中，從它的下一個數開始接續計數，不必把原來的物件重新從1數起。例如從7開始往上數，新增的第一個物件對應8，接著是9、10、11、12。 往上數可依未知量的位置，分成兩種常見用途： 結果量未知：知道起始量與增加量，從起始量接著數指定的次數，最後停留的數就是結果量。例如7＋4＝□，從7接著數8、9、10、11，共數4次，得到11。 改變量未知：知道起始量與結果量，從起始量接著數到結果量，記錄接續數了幾次。例如7＋□＝12，依序數8、9、10、11、12，共數5次，所以增加量是5。 兩者最大的差別在於：求結果時看「最後數到哪裡」；求改變量時看「一共數了幾次」。改變量未知時，可用手指、計數片或記號同步記錄次數，避免只記住最後的總數。 三、哪一種題型最不可能用往上數？ 往上數的前提是「有一個已知的起點」。依此比較各類算式填充題： 算式型態能否直接往上數說明 a＋b＝□（如8＋3＝□）可以從8接著數3次：9、10、11。 a＋b＝□，起始量較大（如11＋3＝□）可以數字較大不影響策略，從11接著數3次：12、13、14。 a＋□＝c（如8＋□＝11）可以從8數到11，記錄數了3次。 □＋b＝c（如□＋3＝11）最不可能不知道從哪裡開始數，缺少接續計數的出發點。 起始量未知時，學童若要解題，需要先運用加法交換律改寫成3＋□＝11，或用倒數、減法（11－3）、嘗試錯誤等其他策略，已超出單純「由已知起始量往上數」的範圍。因此題目問「最不可能使用往上數」時，應選空格在第一個加數（起始量）位置的算式。這是相對適用性的判斷，不代表起始量未知的問題無法解決。 四、用算式填充題忠實表徵未知量 題目要求「用算式填充題表徵題意」時，重點是把未知量放在符合故事的位置。原有7個，增加一些後成為12個，應表徵為7＋（ ）＝12（或7＋□＝12），空格代表新增的數量。 填充算式應保留空格，以呈現「已知什麼、正在問什麼」。直接寫成7＋5＝12，雖然數值正確，卻已把未知量填入，無法呈現原本的填充問題。 也要區分題意表徵與求解算式：7＋□＝12呈現原有量加上未知增加量的關係；12－7＝□則是利用加減互逆求出增加量。若題目要求表徵題意，應以符合情境順序的加法填充式作答。 五、多元表徵：形式改變，數量關係要一致 不同表徵都應清楚保留「已知起始量、未知增加量、已知結果量」三項資訊。若要求另一種方法表徵，可改用圖像或實物，讓數量關係更容易看見。 圖像表徵：先畫7個圓表示原有量，旁邊畫一個標示「？」的框表示新增部分，再用外框或文字標示兩部分合起來共有12個。未知部分先保留，不必事先畫出答案。 線段圖表徵：將總量線段標為12，分成已知的7與未知的「？」兩段，清楚呈現部分合成全體的關係。 實物表徵：先擺出7個計數片，旁邊保留待加入的位置，說明加入一些後總共有12個；待加入的數量就是所求。 語言表徵：說明「原來的7個，加上後來增加的未知個數，合起來是12個」，或改述為「7再加多少會成為12」。 若已用算式表徵，再提出圖像或實物，較能清楚展現不同的表徵方式。只把空格換成問號，數量關係雖相同，但表徵形式的差異較小。 六、改變量未知的常見解題策略 策略具體做法答案的來源 往上數從7接著數8、9、10、11、12，同時記錄次數。接續數了5次，因此增加5個。 實物添加先放7個計數片，再逐一加入，直到共有12個；將新加入的計數片另外辨識。點數新加入的部分，共5個。 減法求差利用加減互逆，以總量扣除原有量，計算12－7。得到5，就是增加量。 往下數從12往回數到7：11、10、9、8、7。往回數了5次，差距為5。 數字事實／湊十7＋3＝10，10＋2＝12，或直接運用已熟記的7＋5＝12。3＋2＝5，增加5個。 申論題若要求兩種策略，應寫出可辨識的操作或計算過程。例如「從7往上數到12，記錄共數5次」與「用12－7＝5求出增加量」，就能呈現不同解法。只寫「用手指」或「用積木」僅交代工具，尚未說清楚策略。 常考陷阱 把起始量較大的結果量未知題誤當成不能往上數：如11＋3＝□，起點已知，數字大小不影響往上數的使用。 誤認改變量未知不能用往上數：只要起始量與結果量已知，就能從起始量數到結果量，再以計數次數求增加量。 忽略起始量未知缺少出發點：□＋b＝c不知從何數起，才是最不可能直接往上數的題型。 把起始數算成增加的第一個：從7增加到12，新增部分應由8開始數。若把7也算進去，便會多算一次。 把最後數到的數當成增加量：數到12只表示已達結果量；增加量要看從7之後接續數了幾次。 看到「再給」就把已知數直接相加：起始量與結果量不能直接相加來求增加量，7＋12＝19是錯誤解讀。 表徵時改變了未知量的位置或填入答案：寫成□＋7＝12、7＋12＝□或7＋5＝12，都未忠實呈現原題的數量關係。 只畫總數，未區分原有與新增：圖像應能辨識原有部分與未知新增部分，並標示總量。 將同一策略換工具當成兩種解法：用手指往上數、用計數片往上數，都屬於同一計數策略。要求兩種時，宜選過程差異清楚的做法，並交代步驟。 記憶口訣 原有加新增，合起是結果；空格放哪裡，先看問什麼。 起點知道才能數，起點不知最難數。 求總數，看終點；求增加，數步數；起點不算步，下一數才起步。