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學習重點 先判斷順序是否重要：起點、終點互換後若視為不同結果，就要計算有序配對（排列），不能直接使用組合。 把整數拆成各位數字：三位數可表示為 100a＋10b＋c，其中 a、b、c 分別代表百位、十位、個位數字。 將文字限制轉成數字條件：大小範圍、偶數、質數數字，以及數字相同或不同，必須同時成立。 掌握乘法原理：依序完成各項選擇，將每一步符合限制的選法數相乘；被其他位置決定的數字，不可再當成自由選擇。 會計數，也會列舉：求個數時有系統地計算；要求寫出全部自然數時，應逐一列出並檢查是否遺漏或重複。 核心觀念 一、有序配對：起訖站不同，方向也要區分 有序配對指的是兩個位置各有不同角色，例如「起站、訖站」。從甲站到乙站與從乙站到甲站，雖然涉及相同的兩個車站，卻是兩種不同車票。因此，不能只問選中了哪兩站，還要區分誰是起站、誰是訖站。 若有 n 個相異車站，任選兩個不同車站作為起訖站，可以先選起站，有 n 種選法；再選訖站，因為不可與起站相同，剩下 n－1 種選法。依乘法原理，共有 n(n－1) 種。 一般而言，從 n 個相異元素中取出 k 個，不重複且依序排列，排列數為 P(n,k)＝n!／(n－k)!。有序配對就是取出兩個排列，因此 P(n,2)＝n!／(n－2)!＝n(n－1)。其中 n! 表示由 n 乘到 1 的連乘積，並約定 0!＝1。 例如，指定可作為起訖站的車站共有 A、B、a1、a2、a3 五個，車票種類就是 P(5,2)＝5×4＝20 種。計算時只納入題目指定的車站；圖上即使另有其他車站（如 C 站），也不能自行加入。申論作答時，宜寫出「起站 5 種 × 訖站 4 種＝20 種」的推理過程，而不只寫答案。 判斷項目有序配對（排列）無序選取（組合） 交換兩個元素視為不同結果視為相同結果 典型情境指定起站與訖站的車票只選出兩個車站（如站與站間的路段） 從 n 個相異元素取兩個n(n－1)n(n－1)／2 n＝5 時2010 二、三位數的位值與數字性質 將三位自然數寫成 100a＋10b＋c，可以把條件分別放到各個位置。百位數字 a 可為 1～9，不能是 0；十位數字 b 與個位數字 c 可為 0～9。數位是位置，數字是填在該位置的值，解題時應分清楚。 文字條件轉換方式 三位數且小於 400百位數字只能是 1、2、3 整個數是偶數個位數字只能是 0、2、4、6、8 十位數字是質數十位數字只能是 2、3、5、7 百位與個位數字相同a＝c，兩個位置受同一個數字控制 質數是大於 1，且正因數只有 1 和本身的整數。在一位數中，質數只有 2、3、5、7。1 不是質數，0 也不是質數；2 則是唯一的偶質數。注意，「十位數字是質數」只限制十位上的數字，並不是要求整個三位數為質數。 三、將多個限制取交集，先處理相互牽動的位置 若同時要求三位數小於 400、為偶數，而且百位與個位數字相同，應先合併這三個條件。小於 400 使百位只能是 1、2、3；個位必須是偶數，而個位又與百位相同，所以百位也必須是偶數。在 1、2、3 中，只有 2 符合（0 不能當百位）。 因此，百位與個位都固定為 2，整個數的形式是 2□2。十位再依質數條件填入 2、3、5、7，便得到 222、232、252、272，共 4 個自然數。 這類問題可寫成 1×4×1＝4，但必須先處理百位與個位的相等關係。不能把百位的三種選擇、十位的四種選擇，以及個位的五種偶數選擇直接相乘，因為這樣會包含許多不符合「百位與個位相同」的數。 若題目要求列出全部自然數，就將十位候選數字由小到大代入，再逐一檢查大小、奇偶、質數數字及相等條件。只回答個數，不能取代完整列舉；反之，選擇題問個數時，列舉完數一數即可驗算。 四、兩位數的數字不同：直接計數與排除法 在 50～99 的整數中，十位數字可為 5、6、7、8、9，共五種。固定十位後，個位原本可選 0～9 共十種；若要求十位與個位不同，只須排除與十位相同的那一個數字，因此每一種十位都對應九種個位選法。 依乘法原理，符合條件的整數共有 5×9＝45 個。個位可以是 0，例如 50 就符合條件；不可把個位也限制成 5～9。 也可以用排除法驗算：50～99 含兩端，共有 99－50＋1＝50 個整數。其中兩位數字相同的只有 55、66、77、88、99，共五個，所以符合條件的有 50－5＝45 個。 乘法原理的重點是：每一種前面的選擇，都要有正確的後續選法數。此處雖然十位不同時，個位要排除的數字不同，但每次都恰好剩九種，因此可以相乘。若各種情況剩下的選法數不一樣，就應分情況計算後再相加。 常考陷阱 有方向卻除以 2：起訖互換既然算不同車票，就不應除以 2；只有交換後視為同一結果時，才按無序選取處理。5 站算出 10 種即是此錯誤。 把同站到同站也算入：任兩個不同車站作為起訖站，選定起站後，訖站只能從其餘車站選，不能使用 n×n（5 站誤算 25 種）。 把背景中的所有車站都納入：應以題目明確指定可印製車票的車站集合為準，不能只看圖上共有多少站。 只套用部分條件：看到百位有三種、質數數字有四種就算出 12，漏掉了偶數及百位與個位相同的聯合限制。 把相等的位置當成兩次自由選擇：百位與個位相同時，一旦百位確定，個位也隨之確定，不可再乘上一份選法數。 混淆質數與奇數：2 是質數，9 是奇數卻不是質數，1 也不是質數；十位的質數候選應完整列為 2、3、5、7。漏掉 2 會只剩 3 個答案。 誤判偶數條件：一般判斷整數是否為偶數，只看個位；本單元百位受到限制，是因為百位與個位相同。 區間漏算端點：連續整數含兩端時，個數是「末數－首數＋1」。50～99 共有 50 個，不能算成 49 個。 誤解數字不同的範圍：兩位數的十位與個位不同，只排除兩位相同的五個數；三位數若只要求百位與個位相同，十位仍可與它們相同，因此不能擅自排除 222。 個位漏掉 0：計算兩位數時個位可為 0～9，若只算 1～9 會得到 40，與正確的 45 不符。 記憶口訣 有序分先後，同站要扣掉；位值先拆開，條件取交集；相同先連動，不同扣重複；列完再驗算，不漏也不重。