阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 掌握所有柱體共同的公式：體積＝底面積×柱高。先辨認底面，再計算底面積，最後乘柱高。 底面為五邊形等多邊形時，利用分割、補形或扣除方式求面積，並正確解讀圖中的直角與等長符號。 遇到等體積條件，先列出兩立體的體積等式，再求底面積或半徑，不要直接把某段長度設為相等。 比較圓柱與正方體體積時，以同一個邊長表示各尺寸，特別注意直徑必須除以二才是半徑。 核心觀念 一、柱體體積：先算底面積，再乘柱高 柱體具有兩個互相平行且全等的底面，體積的基本公式為V＝B×H，其中 B 為底面積，H 為兩底面之間的垂直距離。底面可以是三角形、五邊形或其他多邊形。底面形狀改變時，只有面積算法跟著改變，體積仍然是底面積乘以柱高。 如果柱體的側面都是與底面垂直的長方形，就是直柱體，連接兩底面對應頂點的側稜長就是柱高。柱高不是圖面上看起來最長的線段，也不一定是畫面中朝上的線段，必須依幾何關係判斷。立體圖常把柱體「躺著」畫，這時兩個全等的多邊形才是底面，兩底面之間的稜長才是柱高。 立體底面積體積 三角柱三角形底邊×對應高÷2三角形底邊×對應高÷2×柱高 五邊形柱依圖形分割或補形求得五邊形面積×柱高 圓柱πr²πr²H 正方體a²a³ 三角柱尤其容易混淆兩種「高」：一種是底面三角形內，用來計算三角形面積的高；另一種是兩個三角形底面之間的柱高。兩者用途不同，不能互換。若題目已經直接給出底面積，就不必再除以二。 二、五邊形底面：分割、補形與符號判讀 五邊形不一定是正五邊形，不能因為有五條邊就套用正多邊形面積公式。應先觀察圖中的直角、平行與等長關係，再將底面轉換為熟悉的三角形、長方形或梯形。 分割法：在五邊形內畫輔助線，切成互不重疊的小圖形，底面積等於各部分面積相加。 補形法：將五邊形補成長方形或其他容易計算的圖形，再扣除補上的部分。 長度推算：圖中有直角與平行關係時，可用總長減去已知部分，求出缺少的底或高。 常用面積公式如下：長方形面積＝長×寬，三角形面積＝底×高÷2，梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2。三角形與梯形公式中的高，都必須是到對應底邊的垂直距離，不能隨意代入斜邊。 圖中相同的刻痕代表線段等長，直角符號代表兩線垂直。沒有標示、也無法由條件推得的關係，不可憑外觀認定。算出底面積後，再乘一次柱高即可。 這類題目的選項數值通常很接近，彼此只差一小段。常見的錯誤來源有三個：分割時漏算或重複計算一塊，補形時扣錯面積，以及三角形部分忘記除以二。建議用分割法與補形法各算一次底面積，兩者一致再乘柱高。檢查時注意單位：底面積是平方單位，體積是立方單位。 三、等體積問題：以體積等式求圓柱半徑 相同體積的黏土分別捏成三角柱與圓柱，材料沒有增減，所以形狀雖然改變，體積保持相等。設三角柱底面積為 α、柱高為 18；圓柱半徑為 r、柱高為 9，可列式如下： 18α＝9πr²兩邊同除以 9，得到 2α＝πr²。再同除以 π，得到 r²＝2α／π。因此，r＝√（2α／π）。 題目選項中的字母可能寫成 a，代表的就是題幹中的底面積 α，作答時看成同一個量即可。 這類問題可以分兩步理解：先用等體積求出圓柱底面積，再由圓面積求半徑。三角柱的高是圓柱的兩倍，所以圓柱的底面積必須是三角柱的兩倍，才能維持相同體積。 一般而言，兩柱體等體積時 B₁H₁＝B₂H₂，所以底面積與柱高成反比。但半徑與底面積之間是平方關係，底面積加倍時，半徑只變成原來的 √2 倍，不能直接說半徑加倍。最後由 r² 求 r 時要開平方，且半徑取正值。 四、圓柱與正方體：統一尺寸後比較 設正方體邊長為 a，刨成的圓柱底面直徑與高都等於 a，則圓柱半徑為 a／2，高為 a。兩立體的體積分別為： 圓柱體積＝π×（a／2）²×a＝πa³／4正方體體積＝a³ 依照「圓柱體積：正方體體積」的順序列比，得到（πa³／4）：a³＝π：4。共同的 a³ 可以約去，所以不需要知道正方體的實際邊長。 也可以利用等高的特性簡化：兩立體的高相同，體積比就等於底面積比，也就是圓面積比正方形面積，π（a／2）²：a²，同樣得到 π：4。 最後做合理性檢查：圓柱是由正方體刨製而成，體積必定小於原正方體。π：4 約為 0.785，小於 1，合理；4：π 與 π：1 的比值都大於 1，可以直接排除。 常考陷阱 把五邊形當成正五邊形：邊數相同不代表各邊、各角相等，應依圖中已知條件分割或補形。 只求出底面積就作答：柱體體積還必須乘柱高。若單位仍是平方單位，表示體積還沒算完。 把底面周長乘以柱高：在直柱體中，這樣算出的是側面積，不是體積。 把斜邊當成高，或混用兩種高：計算底面面積所需的高與柱高要分開辨認，並確認垂直關係。 分割時漏算、重算或忘記除以二：選項之間差距小，往往就是少算或多算一小塊三角形，算完應再驗算一次。 已知底面積仍再除以二：α 已代表三角柱底面積，三角柱體積就是 α×柱高，不能再重複套用三角形面積公式。 等體積卻直接設底面積相等：只有柱高也相同時，才能推得底面積相等。高度不同時，必須列出完整的體積等式。 移項時把 π 放到分子或把分數倒置：由 πr²＝2α 可知 r²＝2α／π。根號內若是 2π／α、α／（2π）或 π／（2α），都不符合原等式。 直徑直接代入半徑位置：直徑為 a 時，半徑是 a／2，平方後為 a²／4。漏掉這一步，容易誤選 π：1。 體積比順序顛倒：π：4 與 4：π 意義不同。先寫清楚比較順序，再約去共同因數，並用「刨出的圓柱比原正方體小」檢查。 記憶口訣 「柱體先算底，再乘垂直高；等積列等式，求徑要開方；直徑先折半，平方別漏四。」