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學習重點 把畢氏定理改看成面積關係：直角三角形斜邊上的正方形面積，等於兩股上的正方形面積和。 先辨認直角與斜邊，再列等式：圖形即使旋轉或傾斜，斜邊仍是直角對面的邊，不能依上下、左右的位置判斷。 組合圖形以「分組加總」為主：透過相鄰直角三角形，把數個小正方形的面積和換成較大正方形的面積，不必逐一求邊長。 掌握面積守恆與計數範圍：每次將斜邊正方形替換成兩股正方形，面積總和不變；最後加總時，要確認每個正方形恰好計入一次，且甲本身也要算進去。 核心觀念 一、畢氏定理就是三個正方形的面積等式 設直角三角形的兩股長為 a、b，斜邊長為 c，則a²＋b²＝c²。若分別以這三條邊為邊長作正方形，三個正方形的面積就是 a²、b²、c²。因此，畢氏定理可直接讀成：兩股上的正方形面積和＝斜邊上的正方形面積。 例如，兩股上的正方形面積分別為 0.4 與 0.6，則斜邊上的正方形面積為 1。這項關係只能確定兩個面積的和，不能單憑總和為 1，就認定兩個正方形各為 0.5。 題目若直接給正方形面積，應優先以面積列式。只有需要求邊長時才開根號；求全部正方形面積和，通常不必繞回邊長計算。 二、從直角標示找斜邊，確認正方形與三角形的對應 斜邊是直角對面的邊，另外兩條構成直角的邊才是兩股。斜邊也是該直角三角形的最長邊，所以斜邊上的正方形，面積必大於任一股上的正方形面積。 組合圖形常將正方形畫成傾斜的樣子，或讓三角形朝不同方向排列。解題時應逐個找出直角三角形，再確認各正方形是否確實以該三角形的邊為邊長。只是靠近三角形、與三角形接觸，並不足以套用畢氏定理。 已知條件可用的面積關係判斷重點 斜邊正方形面積為 C兩股正方形面積和為 C可以求和，未必能求各別面積 兩股正方形面積為 A、B斜邊正方形面積為 A＋B相加的是面積，不是邊長 斜邊面積為 C，一股面積為 A另一股正方形面積為 C－A須先確認哪個正方形對應斜邊 三、連續替換：把多個正方形的面積和化簡 若一個正方形同時參與前後兩組直角三角形關係，就能把不同位置的面積等式串接起來。設某個斜邊正方形面積為 S，兩股正方形面積為 A、B，則 A＋B＝S。若面積為 A 的正方形又對應另一個直角三角形的斜邊，而其兩股正方形面積為 D、E，便有 D＋E＝A。 將兩式合併，可得D＋E＋B＝S。可見正方形即使越分越多，分出的面積總和仍可維持為 S。這就是組合圖形題的核心：正方形的個數增加，不代表同一組的面積總和增加。 替換可以向外拆分，也可以向內合併。看到兩股上的兩個正方形，就把它們的面積和合併為斜邊正方形面積；看到斜邊上的正方形，也可以把其面積改寫為兩股正方形面積和。選擇能讓目標算式變簡單的方向即可。 四、以面積分組，處理「所有正方形，含甲」 設正方形甲的面積為 S。若依圖中的直角三角形關係，能把其餘正方形分成兩組，而且每組面積和都等於 S，則全部正方形面積和為 S＋S＋S＝3S。當 S＝1 時，總面積就是 3。 以常見配置說明：甲的兩條邊各自是一個直角三角形的斜邊，每個直角三角形的兩股上各有一個正方形。於是第一組兩個正方形面積和＝甲＝1，第二組兩個正方形面積和＝甲＝1，再加上甲本身 1，總和為 1＋1＋1＝3。若某組的股上正方形又再往外接直角三角形與更小的正方形，則依第三段的連續替換，那一組的面積和仍然等於甲，答案不變。 這個計算的重點在於先確認兩組各自的面積和等於甲，而非直接記住「有甲就乘三」。實際分組須依圖中的連接方式與直角位置判斷；不能僅憑圖形外觀相似，就假定各組面積相等。 分組也不一定按照圖面的上、中、下排列。所謂一組，是指透過畢氏定理能合併成同一已知面積的正方形集合。分組完成後，要檢查沒有遺漏、沒有重複，而且甲本身已計入。 五、標準作答流程 標面積：把已知正方形面積記為 S；未知正方形可用 A、B、C 等字母表示。 找直角：逐個辨認斜邊與兩股，建立「兩股面積和＝斜邊面積」的等式。 合併面積：利用替換或代入，把數個未知面積的和化成 S。 核對範圍：確認題目要算的是所有正方形，並檢查是否包含已知的甲。 最後代值：先得到總面積是 S 的幾倍，再代入 S＝1，避免計算過程混淆。 常考陷阱 數正方形個數當答案：題目給甲的面積為 1，並未表示其他正方形與甲全等。看到圖中有 5 個正方形就選 5，或以「正方形個數×1」求總面積，都是錯的；其他正方形都比甲小，總和只有 3。 把邊長直接相加：將畢氏定理誤寫成 a＋b＝c。正確的是 a²＋b²＝c²；只有改用正方形面積表示時，才能直接寫成兩股面積相加等於斜邊面積。 看到左右排列就認定面積相等：兩股不一定等長，兩股上的正方形也不一定等大。沒有等長條件時，只能使用面積和的關係。 因圖形傾斜而認錯斜邊：畫在最上方、最外側的邊未必是斜邊。判斷依據始終是直角的位置。 漏加甲的面積：若已求出其餘正方形面積和為 2S，而題目要求所有正方形且包含甲，最後仍須加上 S，得 3S。 替換時重複計算：若 A＝D＋E，計算 D、E 所屬那一組的面積時，可用 A 代替 D＋E；不能代替後又把 D、E 再加一次。若原本要求 A、D、E 三個正方形全部的面積，則應保留三者，得到 A＋D＋E＝2A。 把三角形或空白區域也加進去：題目要求正方形面積和，就只加指定的正方形。直角三角形在此提供面積關係，不是加總對象。 將固定答案套用到不同圖形：總面積為已知面積的幾倍，取決於圖形能分成幾組等面積的集合；必須列式確認，不能只背數字。 記憶口訣 「直角對面找斜邊，兩股方面積相添；分組替換和不變，含甲加總勿漏算。」 作答時抓住三件事：找對斜邊、合併面積、核對計數。甲＝1、兩組各＝1，加起來就是 1＋1＋1＝3；能直接求面積和，就不必逐個求邊長。