阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 理解異分母分數不能直接加減的原因：分母決定分數單位，必須先把計量單位統一，也就是找出兩分數的共測單位。 能用等分圖示、列出等值分數、列舉倍數或求最小公倍數的方法通分，再進行加減與約分。 掌握帶分數加法的多元策略：整數與分數分開算、化成假分數、換成實物數量，以及利用圖像表徵求解。 認識標準七巧板各塊的面積比例，以小三角形為共同面積單位，用分數表示並計算組合面積。 化簡含文字的分式時，先因式分解再約去公因式，不能把加減的項直接消去。 核心觀念 一、先確認「一個全體」與「分數單位」 分數的意義是：把一個全體等分成若干份，再取其中幾份。例如，3/4 表示把全體等分成四份，取其中三份；它的分數單位是 1/4。分母表示等分的份數，分子表示所取的份數。 進行分數加減，必須先確認兩個分數所指的全體相同。同樣是半盒，若每盒的容量不同，代表的實際數量就可能不同。題目若以固定顆數的一盒為單位，兩人的購買量便可以共同用「盒」計量。 同分母分數的單位相同，可以直接合併或扣除單位的個數。例如，2/7＋3/7＝5/7，是兩個七分之一加上三個七分之一。異分母分數的單位不同，不能直接將分子相加，必須先通分。這和整數、小數加減要「個位對個位、十分位對十分位」的單位量概念相同。 二、通分是改用共同的計量單位 通分是利用等值分數，將不同的分數單位改成相同的分數單位。分子、分母同乘一個相同的非零整數，分數的值不變；只是每份變小，表示的份數隨之增加。 例如，1/2＋1/3 可以把每個二分之一再等分成三份，把每個三分之一再等分成兩份。兩者都改用 1/6 計量，所以 1/2＝3/6、1/3＝2/6，合起來是 5/6。 共同分母是 6，共測單位則是 1/6。兩者不能混為一談。共測單位是能夠整數次量出兩個分數量的共同小單位；本例的 1/2 是三個 1/6，1/3 是兩個 1/6。 國小學童找共測單位的常見方法如下，申論作答任選一種，說清楚操作過程與最後得到的共測單位即可。 方法操作重點理解關鍵 等分圖示畫出同樣大小的全體，將原有分割再細分成相同大小的小份。通分後面積不變，只改變分割方式；細分後的一小格就是共測單位。 列出等值分數分別寫出兩分數的等值分數序列，例如 1/2＝2/4＝3/6…、1/3＝2/6＝3/9…，找出分母相同的一組。第一次出現相同分母時，該分數單位即為共測單位。 列舉倍數列出兩個分母的倍數，找共同倍數作為共同分母。共同分母必須能被原來兩個分母整除。 求最小公倍數取兩分母的最小公倍數，再將分子、分母同倍擴大。通常能使計算中的數字較小。 共同分母不一定要用最小公倍數。例如，二分之一與三分之一也能改用十二分之一計量，但六分之一是其中最大的共同單位，計算通常較簡便。 申論作答不能只寫「求最小公倍數」。應進一步說明如何分割或擴分，並明確寫出「共測單位是幾分之一（個全體）」，才能完整呈現單位量概念。 三、異分母分數加減的標準流程 確認全體與計量單位一致，辨認原來的分母。 選定共同分母，將每個分數的分子、分母同倍擴大。 分母保持不變，依運算符號將分子相加或相減。 將結果約成最簡分數；需要時再化成帶分數。 例如，3/4－1/6＝9/12－2/12＝7/12。減法應維持原來的先後順序，不能因為通分就交換被減數與減數。 若帶分數的分數部分不夠減，可以向整數部分借 1，並將這個 1 換成共同分母所表示的分數。例如，2 又 1/4－5/6，通分後可將 2 又 3/12 改寫為 1 又 15/12，再減去 10/12，得到 1 又 5/12。 四、含文字的分式化簡與加減 分式的運算規則與數字分數相同： 化簡：先把分子、分母分別因式分解，再約去共同的「因式」。例如，(x²－4)/(x²＋x－2)＝(x＋2)(x－2)/[(x＋2)(x－1)]＝(x－2)/(x－1)。 加減：先將各分母因式分解，取最小公倍式為共同分母，擴分後再合併分子，最後檢查能否再約分。 只有「相乘」的因式才能約去；以加、減連接的項不能個別消去。因此化簡結果常仍是分式，不一定會變成整式。 五、異分母帶分數加法的多元策略 以每盒 24 顆草莓、「1 又 3/4 盒與 2 又 2/3 盒」為例。各策略應呈現不同的思考方式，而不只是更換共同分母。 策略計算與說明 整數與分數分開算整數部分為 1＋2＝3；分數部分為 3/4＋2/3＝9/12＋8/12＝17/12＝1 又 5/12，因此共 4 又 5/12 盒。 先化成假分數1 又 3/4＝7/4，2 又 2/3＝8/3；通分後為 21/12＋32/12＝53/12＝4 又 5/12 盒。 換成草莓顆數1 又 3/4 盒是 24＋18＝42 顆，2 又 2/3 盒是 24＋16＝40 顆，再加 24 顆共 64 顆；合計 106 顆，以 106÷24 換回 4 又 10/24＝4 又 5/12 盒。 圖像表徵畫同樣大小的長條代表每盒，先保留完整盒，再把不足一盒的部分細分為相同大小的小格。將小格合併，湊滿一盒就進位。 換顆數的策略是利用「1 顆＝1/24 盒」作為共同計量單位；分數盒數能換成整數顆時最容易操作。圖像表徵則必須全體等大、每格等大，才能正確表達分數加法。 六、七巧板的面積分數與合併 標準七巧板由兩塊大三角形、一塊中三角形、兩塊小三角形、一塊正方形與一塊平行四邊形組成。若整組面積定為 1，各塊比例固定如下。 板塊種類塊數每塊占全體相當於幾塊小三角形 大三角形21/44 中三角形11/82 正方形11/82 平行四邊形11/82 小三角形21/161 以小三角形為共同面積單位，整組共有十六個這樣的單位。求數塊的合計面積時，先依圖辨認每個字母是哪一種板塊，算出共有幾個小三角形單位，再寫成十六分之幾並約分。例如，大三角形、中三角形與小三角形各一塊，面積合計為 4/16＋2/16＋1/16＝7/16。 板塊旋轉、平移或翻面，面積都不變。中三角形、正方形與平行四邊形雖然形狀不同，面積卻相同。辨認時要看形狀與大小關係，不能只看擺放方向。 常考陷阱 分子相加，分母也相加：把 1/2＋1/3 寫成 2/5，忽略兩者單位不同。應先通分，再只加分子。 擴分只改分母：把 1/2 改成 1/6，已改變原量。正確是分子、分母同乘 3，得到 3/6。 把共同分母當成共測單位：共同分母為 12 時，共測單位是 1/12；若以盒計量，應寫成 1/12 盒，而不是「12」。 認為一定要用兩分母的乘積：乘積可以作共同分母，但不一定最簡便；兩分母有共同因數時，可先找最小公倍數。 分式把「項」直接消去：錯誤選項常是把分子、分母中相同的數字或文字逐項刪掉，得到看似簡潔的整式（如 x＋2、x＋10 之類）。判斷關鍵：先因式分解，只約公因式；結果仍為分式是常態。 帶分數加法漏掉進位：分數部分相加若大於或等於 1，要把完整的 1 加回整數部分。 換成顆數後忘記換回盒數：題目問盒數，最後必須除以每盒顆數，約分並寫明單位。 七巧板按塊數平均分：七塊大小不同，每塊不是 1/7。應依各塊占全體的面積比例計算。 以形狀或目測代替面積關係：不同形狀可以等面積；字母也沒有固定代表的板塊，必須對照圖形辨認。 記憶口訣 全體先看同，異母先通分；分母守原位，分子加減清；算完再約分，單位要寫明。 分式先分解，約因不約項。 七巧以小看：大四、中正平各二、小一；全體十六份，合併再約分。