百分率捨入與圖表調整

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建立於 2026年11月10日

學習重點 分清楚「原始資料的精確比例」與「四捨五入後的近似百分率」：前者合計必為100%，後者可能大於、小於或等於100%。 各部分分別四捨五入時，誤差會相加，不一定互相抵消。解釋合計偏大的原因時，要說明各部分的捨入方向與誤差的累積。 掌握百分率圓形圖的基本條件：各部分合計100%，對應的圓心角合計360°。 能分別用「調整最大占比，相對影響最小，且不改變排序」與「調整向上捨入誤差最大者，調整後誤差最小」兩種判準，說明調整的合理性。 核心觀念 一、精確比例合計為100%，近似值則不一定 各類別互不重複，而且完整涵蓋全體時，各部分數量相加等於總數。各部分除以相同的總數後，精確比例相加必為1，換算成百分率就是100%。這是原始資料本身的關係，不會因為計算或畫圖而改變。 如果把每一個比例分別四捨五入，得到的是近似值。每一項都可能比原值略大或略小，加總時這些差距也會一起累加。因此，近似百分率的總和可能等於100%，也可能大於或小於100%。 把「捨入誤差」定義為近似百分率－精確百分率。誤差為正，表示捨入後偏大；誤差為負，表示捨入後偏小。由此可得： 近似百分率總和＝100%＋各部分捨入誤差的總和 近似百分率合計101%，代表各部分的誤差加總後多出1個百分點。這並不表示實際資料多出了一部分，也不代表計算錯誤。 二、取位位置決定百分率的精細程度 「先以四捨五入法取到小數第二位，再換算成百分率」，是先把0到1之間的比例保留兩位小數，再乘以100%。例如0.196……取到小數第二位是0.20，換算後為20%。用這種程序得到的是整數百分率。 取位要求計算示意結果的精細程度 比例取到小數第二位，再換算成百分率0.196……≒0.20＝20%以1個百分點為單位 換算成百分率後，取到百分率的小數第二位19.637……%≒19.64%以0.01個百分點為單位 兩種要求的取位尺度不同，不能混用。取整數百分率時，每一項的捨入誤差絕對值不超過0.5個百分點，但多項誤差累積起來，總和就可能偏離100%。 三、如何向學童解釋合計101% 說明時可依這個順序：原始得票率合計100% → 每位候選人分別取近似值 → 捨入誤差累積 → 近似值合計超過100%。 以四位候選人為例，把得票率精確到百分率的小數第二位來看： 候選人較精確的得票率四捨五入後捨入誤差 甲約45.71%46%多約0.29個百分點 乙約19.64%20%多約0.36個百分點 丙約21.93%22%多約0.07個百分點 丁約12.72%13%多約0.28個百分點 合計100%101%多約1個百分點 四項的小數第三位都是5以上（0.457……、0.196……、0.219……、0.127……），所以全部向上進位，每一項都比實際值略大。各項增加的量都不到1個百分點，加起來卻剛好多出約1個百分點，所以合計成為101%。 可以這樣告訴學童：全部得票數合起來就是總票數，真正的得票率合計一定是100%；101%是因為每一項都用了「比實際大一點」的近似值，多出來的部分累積起來造成的。 申論作答不能只寫「因為四捨五入」，還要說明原始比例合計為100%、各項都向上捨入、誤差累積使總和偏大，原因才算完整。 四、百分率與圓心角必須對應 圓形圖以一個完整的圓表示全體，因此100%對應360°，1%對應3.6°。換算方式為：圓心角＝百分率的數值×3.6°。 若把合計101%的百分率直接換算成圓心角，角度合計會是363.6°，超過一整圓，畫不出來。因此必須先把百分率調整到合計100%，再換算角度。例如調整為45%、20%、22%、13%時，圓心角依序為162°、72°、79.2°、46.8°，合計恰為360°。 五、調整百分率的兩種合理依據 合計多出1個百分點時，只要選定一項減少1個百分點，總和就回到100%。不同的選擇各有道理，作答重點在於清楚交代採用的判準。 做法判準理由 甲：46%→45%調整占比最大的一項同樣減少1個百分點，占比越大，相對變動越小（1÷46小於1÷20、1÷22、1÷13），對整體圖形的影響最不明顯；調整後甲仍是最高票，各候選人的排序不變。 乙：20%→19%調整向上捨入誤差最大的一項乙的實際得票率約19.64%，進位到20%多了約0.36個百分點，是四人中高估最多的。調為19%後只與實際值相差約0.64個百分點，比把其他任何一項減1個百分點的差距都小（甲約0.71、丙約0.93、丁約0.72），最接近原始資料；排序也不變。 兩種做法的著眼點不同：調整甲著重在相對影響最小，調整乙著重在與精確值的誤差最小。兩者都能讓合計回到100%，也都沒有改變候選人的高低順序，所以教師都可以同意。 要注意，45%或19%是為了讓整體合計100%所做的調整值，不是直接四捨五入的結果。教學時應區分「個別取近似值」與「為了完整呈現整體而調整」這兩個階段。 常考陷阱 「合計超過100%，一定是計算錯誤。」錯。各項分別四捨五入，近似值的合計本來就可能偏離100%。 「四捨五入有增有減，最後一定抵消。」沒有這種保證。本題四項全部向上進位，誤差只會累加。 「取到小數第二位，就是百分率保留兩位小數。」要看清楚取位的對象是比例還是百分率。本題是比例取到小數第二位，所以得到整數百分率。 「多了1%，所以每項都減1%。」整體只需要減少1個百分點。若四項各減1個百分點，總和會變成97%。 「占比最大的一項，捨入誤差也最大。」占比大小與捨入誤差是不同的概念。甲占比最大，但捨入誤差最大的是乙（約0.36個百分點，甲約0.29個百分點）。 「調整甲的理由是甲的誤差最大。」理由用錯。調整甲的理由是占比最大、相對影響最小、排序不變；調整乙的理由才是捨入誤差最大。 「只要湊成100%就好，理由可以省略。」申論須說明調整對象、調整量與依據。題目要求分別說明兩種做法時，兩種理由都要寫。 「用101%直接換算圓心角。」會得到363.6°，超過一圓，必須先調整成合計100%。 記憶口訣 「原值合百，各捨累加；大項減一影響小，誤差最大先調它；先湊百分，再畫整圓。」