等量公理與非零限制

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建立於 2026年11月10日

學習重點 熟記等式兩邊同加、同減、同乘、同除的規則，尤其是除數必須不為零。 區分「同乘一個數」與「約去共同因數」：前者可以乘零，後者必須確認被約去的因數不為零。 檢查推導過程時，要找出第一個不合法的步驟，不能因為結論荒謬就把每一步都判錯。 辨認一元一次式、同類項與係數，並用正確的等式變形求解、比較方程式的解。 將圖形面積轉為等式，利用共同重疊部分推論剩餘面積，再檢查後續運算是否合法。 核心觀念 一、等量公理：運算相同，條件也要成立 等量公理的基本精神，是對等式兩邊施以相同且合法的運算，維持兩邊相等。設 a、b、c 為有理數，可整理如下： 運算由 a＝b 可得到限制條件 同加a＋c＝b＋cc 可以是任意有理數。 同減a－c＝b－cc 可以是任意有理數。 同乘ac＝bcc 可以為零。 同除a÷c＝b÷c必須有 c≠0。 反過來看，若 a＋c＝b＋c，兩邊同減 c，即得 a＝b；若 a－c＝b－c，兩邊同加 c，也得 a＝b。這兩種消去共同加數或減數的操作，不需要另外限制 c 非零。「移項法則」（移項變號）的依據正是等式兩邊同加或同減同一個數，因此移項本身永遠合法。 若已知 a÷c＝b÷c，且是在一般有理數運算中討論，這個等式有意義就已要求 c≠0；再將兩邊同乘 c，即得 a＝b，所以這個推論一定正確。不能因題幹寫「任意數」，就把除以零當成合法運算。 相反地，若推論過程中需要除以一個題目沒保證非零的數，結論就「不一定正確」。例如由 a×c＝b×c 推得 a＝b，或由 a÷b＝c 改寫成 a÷c＝b，都要額外除以 c；當 c＝0 時，前者失效，後者的 a÷c 甚至沒有意義。判斷時要看結論中或推導中新出現的除數是否可能為零。 二、共同因數能否約去，關鍵在非零 由 aX＝aY 推出 X＝Y，必須加上a≠0的條件，因為約去共同因數 a，實際上就是等式兩邊同除以 a。 若 a＝0，原式變成 0＝0，不論 X、Y 是否相等都成立。例如 X＝1、Y＝2 時，仍有 0×1＝0×2，卻不能得到 1＝2。因此，「乘積相等」不代表「另一因數相等」，必須先排除共同因數為零的情形。 也可以把原式整理為 a（X－Y）＝0。兩數相乘為零，表示至少一個因數為零；只有在已知 a≠0 時，才能確定 X－Y＝0，進而得到 X＝Y。 三、「證明 2＝1」型錯誤推導 特別注意：a＝b 且 ab≠0，只能保證 a、b 各自不為零，不能保證 a－b 不為零。事實上，a＝b 正表示 a－b＝0。 常見的錯誤推導如下： 由 a＝b，兩邊同乘 a，得 a²＝ab（同乘，合法）。 兩邊同減 b²，得 a²－b²＝ab－b²（同減，合法）。 因式分解，得（a－b）（a＋b）＝b（a－b）（恆等變形，合法）。 兩邊約去 a－b，得 a＋b＝b（等於除以零，不合法）。 以 a＝b 代入，得 2b＝b；兩邊同除以 b 得 2＝1。 最後一步除以 b 本身是合法的，因為已知 ab≠0，所以 b≠0；真正的錯誤只出在約去 a－b 那一步。要找第一個不合法的運算，不能因最後出現矛盾，就把前面所有步驟都判錯。作答時逐步問自己：這一步做了哪一種等量運算？若是除法或約分，除數是否確定非零？ 四、一元一次式、同類項與係數 「一元」表示只含一種未知數；「一次」表示整理後，未知數的最高次數為一。只具備「一元」並不足以稱為一元一次式，例如 x²＋1 雖然只有 x，卻是二次式。一般一元一次式可寫成 ax＋b，其中 a≠0。 同類項必須具有相同的文字符號，而且各文字符號的次方也相同。例如－3x 與 5x 是同類項，可以合併成 2x；－3x 與 5y 雖然都是一次項，卻因文字符號不同而不是同類項。 係數是整個項中乘在文字符號上的數，必須連同正負號、分母一起辨認。例如－6x 的係數是－6，但－x÷6＝（－1／6）x 的係數是－1／6；－x 的係數則是－1。不能只看見某個數字，就直接認定它是係數。 五、一元一次方程式的求解與解的比較 一元一次方程式可整理成 ax＋b＝c，其中 a≠0。兩邊先同減 b，再同除以 a，得到 x＝（c－b）÷a。 比較兩個方程式是否具有相同的解，最穩妥的方法是分別求解，再比較所得數值；也可檢查其中一式能否經由合法且可逆的等式運算，變成另一式。 例如 2x＋3＝11，兩邊同除以 10 後為 0.2x＋0.3＝1.1，兩式的解都是 x＝4。重點是等號兩邊的每一項都要一起除，不能只改右邊的數，或漏除左邊的常數項。遇到小數方程式，也可以反過來兩邊同乘 10 化為整數係數，再求解比較。 如果整理後未知數項消失，還要判斷剩下的等式：得到 0＝0，表示原式對所有允許的未知數值都成立；得到 0＝非零數，則表示無解。不能繼續除以零，硬求出一個解。 六、面積相等與共同重疊部分 設兩個面積相等的圖形，共同重疊部分的面積為 B，各自未重疊部分的面積為 A、C。則兩個完整圖形的面積分別是 A＋B 與 C＋B，因此有 A＋B＝C＋B。 等式兩邊同減 B，可得 A＝C，也就是等面積圖形扣除相同部分，剩餘面積仍相等。取得 A＝C 後，還能進一步運用等量公理： 兩邊同加 B，得到 A＋B＝C＋B。 兩邊同減 B，得到 A－B＝C－B。 若 B≠0，兩邊同除以 B，得到 A÷B＝C÷B。 面積題中的 B 若表示具有實際面積的重疊區域，便有 B＞0，可以作為除數，因此加、減、除三種關係全部成立。但若題目只說兩圖形接觸，或未保證重疊面積大於零，就不能直接使用除法。 A－B＝C－B 是數值上的等量關係，不需要假設 B 是 A、C 內部可實際切下的區塊。即使相減結果為負數，等式仍然成立；只是不能把負數解讀成實際圖形的面積。 常考陷阱 「等式兩邊可以同除以任意數」：錯在漏掉除數不為零。遇到除法、約分、消去共同因數，先檢查非零條件。 「a÷c＝b÷c 推 a＝b 不一定對，因為 c 可能是 0」：錯。式子能寫出 a÷c 就已表示 c≠0，同乘 c 必得 a＝b；真正「不一定正確」的，是推導時才新增一個可能為零的除數。 「a、b 都不為零，所以 a－b 可以約去」：各數非零，不代表它們的差非零；若已知 a＝b，差反而一定為零。 「結果是 2＝1，所以每一步都錯」：同乘、同減、因式分解與最後除以 b（b≠0）都合法，錯誤只在除以 a－b 的那一步。 「兩邊同乘零仍相等，所以也能反推原式相等」：同乘零會使兩邊都變成零，無法據此恢復原本兩數的關係。 「只含一種字母就是一元一次式」：還要檢查次數；「都是一次項就是同類項」也不對，還須文字符號相同。 「看到 6 就說係數是－6」：－x÷6 的係數是－1／6，要連同分母與正負號判斷。 「方程式數字不同，解就不同」：整個等式同乘或同除以同一個非零數，解仍相同；應求解或檢查變形過程。 「A－B 可能是負的，所以 A－B＝C－B 不成立」、「除法不能用」：重疊面積 B＞0，加、減、除皆成立；判斷依據是等量關係，不能靠形狀猜測。 記憶口訣 加減同做皆可行，乘法可零除不行；共同因數要約去，先查是否等於零。 一元還須看一次，同類字母次方同；整體相等扣共同，剩餘面積也相同。