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學習重點 把絕對值轉成數線上的距離：|a－c| 表示 A、C 兩點的距離，不能直接當成有方向的差。 利用點的相對位置，判斷兩段距離應相加或相減；若圖形資訊不完整，先列出可能情況，再用其他條件排除。 判斷未知點在兩點之間或外側時，同時檢查「距離總和」與「距離差」，再依數線左右方向定位。 掌握絕對值、算術平方根（以及平方）都非負；若幾個非負量的和為零，則每個量都必須為零。 核心觀念 一、絕對值表示距離，距離沒有方向 數線上 A、B、C 三點所表示的數分別為 a、b、c，則 AC＝|a－c|、BC＝|b－c|、AB＝|a－b|。因為距離不分起點與終點，所以 |a－c|＝|c－a|，而且距離一定大於或等於零。 |a－c|＝7，表示 a 與 c 相差 7，不代表 a－c 一定等於 7。若不知道左右位置，應保留 a－c＝7 或 a－c＝－7 兩種可能；只有確定 a 在 c 的右邊，才能寫成 a－c＝7；若 a 在 c 的左邊，則 a－c＝－7。 若 |a－c|＝|b－c|，表示 A、B 到 C 的距離相等。當 A、B 是相異兩點時，兩點必在 C 的兩側，C 為 AB 的中點；若未限定 A、B 相異，也可能是 A、B 重合，不能逕自認定 C 是兩點之間的中點。 二、由共同參考點求兩點間距 已知 A、B 到同一點 C 的距離時，求 AB 的關鍵是判斷 A、B 位於 C 的同側或異側。 位置關係距離算法判斷理由 A、B 在 C 的同側AB＝|AC－BC|較長線段扣掉兩者共用的部分。 A、B 在 C 的異側AB＝AC＋BCC 介於 A、B 之間，兩段距離相接。 例如兩點到共同參考點的距離為 7 與 5，兩點間距可能是 2，也可能是 12。只知道兩個距離，尚不能直接決定應相加或相減。若有圖，先讀圖上的點序（例如 A、B 都在 C 的同一側，就直接相減得 AB＝2）；若另有其他點的距離條件，也可用來排除不合的情況。 三、用第三點的距離判斷內外位置 設 O 到 A、B 的距離分別為 OA、OB。數線上三點的距離有下列關係： O 的位置距離關係辨認重點 介於 A、B 之間OA＋OB＝AB兩小段相加等於整段。 在 A、B 所成線段的外側|OA－OB|＝AB較長距離扣除較短距離等於 AB。 另外，數線上任意三點都滿足 AB ≤ OA＋OB。因此，若 OA＝1、OB＝3，就有 AB ≤ 4，可排除 AB＝12 的情況，確定 AB＝2。此時 OA＋OB＝4，不等於 AB；而 OB－OA＝2＝AB，所以 O 位於線段 AB 的外側。 接著比較遠近：OA＜OB，表示 O 靠近 A，因此 O 在越過 A 的外側。若圖上 A 在 B 左邊，O 就在 A 左邊；若圖上 A 在 B 右邊，O 就在 A 右邊。判斷「在外側」之後，仍須結合圖上的左右點序，才能選出正確位置。 用座標驗算：若圖上點序為 A、B、C 由左至右，可令 a＝0，則 c＝7、b＝2（滿足 |a－c|＝7、|b－c|＝5）。要同時滿足 OA＝1、OB＝3，O 只能在 －1，也就是 A 的左邊。再檢查其他位置：O 若在 A、B 之間，OA＋OB 應等於 2，不合；O 若在 B、C 之間或 C 的右邊，OA 至少大於 2，不可能等於 1。 解這類題目可依序做：先求 AB 的可能值，再用 OA、OB 排除不可能值，接著檢查距離和或距離差，最後依較近的端點及圖示方向定位，必要時設座標驗算。 四、絕對值與平方根的非負性 對任意實數 u，皆有 |u| ≥ 0，且 |u|＝0 若且唯若 u＝0。對實數範圍內的算術平方根 √v，必須先滿足 v ≥ 0，並且 √v ≥ 0；同時，√v＝0 若且唯若 v＝0。同理，實數的平方 u² ≥ 0，且 u²＝0 若且唯若 u＝0。 因此，若 |F(x，y)|＋√G(x，y)＝0，左邊兩項皆非負，不可能靠一正一負互相抵消，只能同時為零，得到 F(x，y)＝0 與 G(x，y)＝0，再聯立求出所需的未知數或其和。 例如 |x＋y|＋√(x－y)＝0，可推出 x＋y＝0、x－y＝0，進而得到 x＝y＝0。這是示範非負性用法的例子；實際作答時，應以題目圖片中的完整算式為準，逐一辨認絕對值與根號的涵蓋範圍。 若題目只問 x＋y，可先觀察聯立後的兩式能否直接相加、相減，或其中一式是否已給出 x＋y 的值，不一定要分別求出 x、y。最後代回原式，確認根號內非負，且各項確實符合條件。 常考陷阱 把絕對值直接去掉：|a－c|＝7 不能無條件改寫成 a－c＝7。先確認左右位置，或保留正、負兩種情況。 看到共同參考點就一律相減：同側才用距離差，異側應用距離和。若圖示不清楚，可先列出兩種可能，再由其他條件篩選。 只憑距離大小猜 O 在中間：在兩點之間必須滿足 OA＋OB＝AB；若滿足的是 |OA－OB|＝AB，則在外側。選項「介於 A、B 之間」常是此類誘答。 忽略距離上限：O 若在 B、C 之間或 C 的外側，O 到 A 的距離至少超過 AB，與 OA＝1 矛盾，可直接排除。 把「靠近 A」直接當成「在 A 左邊」：靠近哪個端點只能協助判斷外側方向，真正的左、右仍要由圖上 A、B 的點序決定。 誤以為兩數相加為零就都等於零：只有已知各項皆非負時，才能如此推論。一般實數可互為相反數，例如 3＋(－3)＝0。 把 √v 寫成正負兩個值：√v 表示非負的算術平方根；解 z²＝v 時，才需視 v 的值討論正、負根。例如 √9＝3，而 z²＝9 的解為 z＝3 或 z＝－3。 漏看根號內的定義條件：實數範圍內，根號內必須非負。讀圖時也要看清楚根號橫線與絕對值符號涵蓋哪些項，避免列錯聯立方程式。 記憶口訣 距離先看位，同側減、異側加；中間看總和，外側看差額。 非負相加若為零，每一項都要等於零；根號先查定義域，聯立之後再驗算。