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學習重點 辨認二次函數的一般式、配方式與因式分解式，並依題目需求選用最省時的形式。 用二次項係數判斷拋物線的開口方向與寬窄，用配方找出頂點及對稱軸。 分清楚「在哪個 x 值取得極值」與「極值是多少」，正確判斷最大值或最小值。 求坐標軸交點：求 x 軸交點令 y＝0，求 y 軸交點令 x＝0。 連結函數零點、方程式的根與圖形和 x 軸的交點，逐一檢查多敘述選項的真偽。 核心觀念 一、三種形式，分別讀出不同資訊 二次函數可寫成 f(x)＝ax²＋bx＋c，其中a≠0，其圖形 y＝f(x) 必為拋物線。若 a＝0，就不是二次函數，也不能套用二次函數的頂點公式。 表示形式最方便判讀的資訊 一般式：f(x)＝ax²＋bx＋ca 決定開口方向與寬窄；與 y 軸交於（0，c）。 配方式：f(x)＝a(x－h)²＋k頂點為（h，k），對稱軸為 x＝h，並可判斷極值。 因式分解式：f(x)＝a(x－r)(x－s)若 r、s 為實數，則零點為 r、s；對應的 x 軸交點為（r，0）、（s，0）。 同一個函數可以有不同寫法，圖形不會因此改變。作答時，問頂點與極值就配方，問根或 x 軸交點就解 f(x)＝0，問 y 軸交點就代入 x＝0。 二、開口方向、寬窄與係數的關係 當 a＞0，拋物線開口向上，頂點是最低點；當 a＜0，拋物線開口向下，頂點是最高點。將頂點平移到相同位置後比較，|a| 越大，圖形越窄；|a| 越小，圖形越寬。a 的正負決定方向，絕對值決定寬窄，兩者要分開判斷。 一般式中的 c 是 y 軸截距；b 不能單獨決定頂點位置，必須搭配 a，利用對稱軸公式 x＝－b／(2a)。特別注意：c 通常不是最大值或最小值，不能看到常數項就直接當作極值。例如 x²＋2x－3 的常數項是－3，但最小值是－4。 三、配方：把一次項整理進平方 配方的依據是 (x＋t)²＝x²＋2tx＋t²。二次項係數為 1 時，先取一次項係數的一半，再補上它的平方；為了維持等式，補多少就必須減回多少。 例如：x²＋2x－3＝(x²＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)²－4。 因此，f(x)＝x²＋2x－3 的頂點為（－1，－4），對稱軸為x＝－1。括號中的 x＋1 應看成 x－(－1)，所以頂點橫坐標是－1，不是 1。 若二次項係數不是 1，應先從二次項與一次項提出 a，再進行配方。一般結果為：f(x)＝a[x＋b／(2a)]²＋c－b²／(4a)。因此頂點為（－b／(2a)，c－b²／(4a)）。公式可用來檢查，但熟悉配方步驟更能避免符號錯誤。 四、頂點、極值與取值範圍 在 x 可取所有實數的情況下，因為 (x－h)²≥0，所以 f(x)＝a(x－h)²＋k 的極值由 a 的正負決定。 條件極值判斷函數值範圍 a＞0x＝h 時取得最小值 k，沒有最大值。f(x)≥k a＜0x＝h 時取得最大值 k，沒有最小值。f(x)≤k 以 (x＋1)²－4 為例，平方項最小為 0，且只有 x＝－1 時成立，所以函數最小值為－4（不是－2，也不是常數項－3）。必須分清楚：－1 是取得最小值時的 x；－4 才是最小值；（－1，－4）則是頂點坐標。 也可以代入檢查：f(－1)＝1－2－3＝－4。不過，代入只能確認該點的函數值；要說明它是全體中的最小值，仍須利用平方非負或拋物線開口向上的性質。 五、坐標軸交點與方程式的根 x 軸上所有點的縱坐標都是 0，因此求 x 軸交點就是解 f(x)＝0。例如 x²＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，由零乘積性質得 x＝－3 或 x＝1，所以 f(x)＝0 有相異兩根 1 和－3，圖形與 x 軸交於（－3，0）及（1，0）。 y 軸上所有點的橫坐標都是 0，因此求 y 軸交點只要計算 f(0)。上述函數的 f(0)＝－3，所以交點為（0，－3）。頂點、x 軸交點及 y 軸交點是不同概念，必須分別計算。 一般而言，判別式 D＝b²－4ac 可判斷與 x 軸的交點個數：D＞0 有兩個相異交點；D＝0 有一個交點，圖形與 x 軸相切；D＜0 沒有實數交點。以 x²＋2x－3 為例，D＝4＋12＝16＞0，確實有相異兩根。若有兩個實根 r、s，則對稱軸為 x＝(r＋s)／2，例如 (1＋(－3))／2＝－1，正好與配方所得的頂點橫坐標一致，可用來交叉檢查。 六、多敘述判斷題的作答流程 確認 a≠0，判定圖形為拋物線，並由 a 的正負判斷開口方向。 配方求頂點（h，k），寫下「x＝h 時有最小（或最大）值 k」。 解 f(x)＝0 求根，寫出 x 軸交點（r，0）、（s，0）。 以自己算出的結果逐一比對各敘述，標記真假後再找出對應的選項組合。 常考陷阱 配方後漏掉補償項：x²＋2x 不等於 (x＋1)²，而是 (x＋1)²－1。漏減 1，就會把最小值誤算成－2 或－3，而非正確的－4。 頂點橫坐標符號看反：(x＋1)² 的平方項在 x＝－1 時為 0。判斷關鍵是「讓括號等於 0」，不要直接抄括號內的數字。 最小值的數字被偷換：敘述中的 x＝－1 正確，後面的極值卻可能被改成錯誤數字。應把「取得位置」與「函數值」分開核對。 把頂點說成 x 軸交點：（－1，－4）的縱坐標不是 0，因此不在 x 軸上。它是拋物線上的頂點，但不能稱為與 x 軸的交點。 混淆根與交點：根是 x 的數值，交點是有兩個坐標的點。「根為 1、－3」對應的交點是（1，0）、（－3，0）。 因式分解後解根時符號錯誤：x＋3＝0 得 x＝－3；x－1＝0 得 x＝1。可將所得根代回原式確認是否為 0。 依敘述位置或選項字母作答：相似題目常把正確與錯誤的敘述調換甲乙丙丁的位置，選項字母也就跟著不同。務必先獨立算出頂點、極值與交點，再逐條判斷真假，最後選出對應組合。 記憶口訣 「開口看 a，寬窄看絕對；配方找頂點，平方零時取極值。」 「碰 x 軸，y 歸零；碰 y 軸，x 歸零。」 「先找在哪裡，再問有多少。」先求頂點橫坐標，再確認極值，避免把 x 與 f(x) 混為一談。