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學習重點 先辨認計數單位：「各隊出賽次數的總和」與「實際比賽場次」不同；同一場比賽會同時出現在兩隊的紀錄中。 看懂勝、和、敗：單隊的比賽場數等於勝場、和局場數、敗場的總和；和局也是已進行的一場比賽。 依重複方式修正：每場比賽都被算兩次，就除以二；只有特定端點各多算一次，就扣除重複的端點。 掌握環狀雙向計數：由同一起點沿順、逆時針數到同一終點，若兩次都包含起點與終點，總人數為兩次人數相加再減二。 算完要驗算：球賽可用「總勝場＝總敗場」、對戰表左右對稱來檢查；環狀人數可用「兩段中間的人＋兩個端點」回推。 核心觀念 一、重複計數的判斷原則 看到兩份以上的紀錄，先不要直接相加。應先問：同一個對象，在目前的統計中出現幾次？若所有對象都固定出現兩次，可將總數除以二；若只有少數對象重複出現，則應找出重複部分，扣除多算的次數。 例如，一場球賽由兩隊參加，將各隊出賽場數加總時，每場都會出現兩次。環狀點名則不同：兩條路線上的中間同學各被數一次，只有共同的起點與終點各被數兩次。因此，兩種情境雖然都涉及重複計數，修正方式卻不同。 二、對戰紀錄中的「勝、和、敗」如何換成場次 戰績表中的一組紀錄若依序表示「勝－和－敗」，則該隊在這組紀錄中的出賽場數＝勝場＋和局場數＋敗場。不能只加勝場與敗場，也不能把和局當成尚未完成或沒有比賽。 例如，某隊對另一隊的紀錄為「7－2－5」，表示兩隊共交手7＋2＋5＝14場。這裡記錄的是同一隊面對特定對手的結果，每場只出現一次，因此單一對戰格內的三項數字相加後，不必再除以二。 相對地，另一隊對該隊的紀錄應為「5－2－7」：一方的勝場是另一方的敗場，和局數則相同。兩格都各自記錄了同樣的14場比賽，若把這兩格相加，就會重複計算。 表中本隊對自己的「0－0－0」表示沒有與自己對戰的紀錄，對總場次的貢獻為零。這些零值位在對戰表的對角線上，不代表其他兩隊之間也沒有比賽。 讀表時先確認列與行的意義：通常每一列是「本隊」，每一行是「對手」，格內數字是本隊對該對手的勝－和－敗。以對角線為界，左右兩側互相對應的格子記錄的是同一批比賽。 三、由各隊紀錄求實際比賽總場次 若先算出每隊的總出賽場數，再將所有球隊的數字相加，每場比賽會分別記在參賽雙方名下。因此： 實際比賽總場次＝所有球隊出賽場數的總和÷2。 以四隊為例，若各隊出賽場數分別為甲、乙、丙、丁，實際總場次就是（甲＋乙＋丙＋丁）÷2。除以二的原因是每場有兩隊參加，並非因為共有四隊，所以不能改成除以四。若各隊出賽場數相同，可簡化為隊數×每隊場數÷2。 若題目提供完整的對戰表，也可以只選每一組不同球隊的對戰紀錄一次。例如，選甲對乙之後，就不再選乙對甲。四隊共有4×3÷2＝6組不同的兩隊組合；將這6組各自的勝、和、敗相加，再加總，即得實際比賽總場次，此時不再除以二。 取用資料的方式每場出現次數求總場次的方法 加總所有球隊的出賽場數兩次總和除以二 加總完整對戰表中雙方的紀錄兩次總和除以二 每組不同球隊只取一個方向的紀錄（對角線一側）一次直接加總 此外，若資料包含全部參賽球隊，所有勝場加總應等於所有敗場加總。若沒有和局，實際總場次等於總勝場；若有和局，則實際總場次＝總勝場＋各隊和局場數總和÷2，因為一場和局也會同時記在兩隊名下。 申論作答宜分三步寫：①算出各隊（或各組對戰）的勝＋和＋敗；②加總；③說明「每場比賽在參賽兩隊的紀錄中各計一次」，因此除以二（若只取對角線一側則不除）。場次數值應以題目表內資料計算，不能只憑球隊數或賽季名稱決定。 四、環狀排列的雙向計數與端點修正 設起點為甲、終點為乙，且甲、乙是不同的人。沿順時針從甲數到乙，再沿逆時針從甲數到乙，兩條路線合起來涵蓋整個圓圈。若兩次點數都包含甲、乙，則中間每人各被算一次，甲與乙各被算兩次。 因此，若兩次點得的人數分別為a、b，則全體人數＝a＋b－2。減二是因為甲多算一次、乙也多算一次，不是刪掉這兩個人。 例如順時針數得18人、逆時針數得15人，全班為18＋15－2＝31人。驗算：順時針中間有18－2＝16人，逆時針中間有15－2＝13人，再加上起點與終點2人，16＋13＋2＝31人。 也可以一般化寫成：全體人數＝（a－2）＋（b－2）＋2＝a＋b－2。這種寫法能清楚顯示「兩段中間的人」與「兩個共同端點」的關係。 要注意，人數與相鄰間隔數不同。一段包含起點、終點的路線若有a人，相鄰間隔只有a－1個；兩個方向的間隔數相加為（a－1）＋（b－1）。圓圈上人數等於相鄰間隔數，因此仍得到全體人數a＋b－2。 情境重複的對象修正方式 各隊出賽場數加總每一場比賽總和÷2 環狀雙向點數（皆含首尾）只有起點與終點相加－2 常考陷阱 直接加總各隊場次：這算出的是各隊出賽次數的合計，同一場比賽被記兩次，應除以二。 看到四隊就除以四：除數應由每場被記錄幾次決定；一場由兩隊參加，因此是除以二。 只取一半對戰表，最後又除以二：每組對戰只取一次後，已經排除重複，再除會少算。 漏掉和局，或把總和局數直接當實際和局場次：和局要列入出賽場數；加總所有球隊的和局紀錄時，每場和局仍被算兩次。 把六組對戰當成六場比賽：四隊的6組是配對種類，每組可能交手多場，還須依紀錄計算。 環狀雙向人數直接相加：會多算共同的起點與終點；如18＋15＝33是多算兩人的結果。 只減一：只扣掉起點或終點其中一個，仍多算一人（如得32）。 減四或把端點全刪：兩段各減二後忘了把兩個端點補回，會少算兩人（如得29）。 環狀雙向人數相加後除以二：只有兩個端點重複，中間的人沒有重複，不能把全部人數折半。 未確認是否包含端點就套公式：「從某人開始點數到另一人為止」包含兩人；若改成「兩人之間有幾人」，則兩端都不計入，總人數應為兩段相加再加二。 記憶口訣 球賽雙方各記場，全隊加總除以二；圓圈雙向含首尾，相加記得減去二。 作答前再問一次：是每個對象都算兩次，還是只有兩個端點多算一次？找對重複的對象，就能選對修正方法。