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學習重點 分清楚「元素屬於集合」與「集合包含於集合」：∈ 檢查整個物件，⊂ 檢查左側集合的每一個元素。 集合內的集合仍是一個完整元素；先數最外層元素，再用 2ⁿ 計算子集合個數。 掌握兩集合容斥原理：聯集個數＝兩集合個數之和－交集個數。 九宮格匡列須同時考慮座位邊界、範圍重疊，以及染疫者是否計入被匡列人數。 求最少人數時，先找可達成的安排，再確認沒有更小的可能。 核心觀念 一、元素與子集合：先看判斷的層次 集合是由元素組成的，而元素本身也可以是一個集合。例如 A＝{1, 2, {1, 2}}，最外層列出的元素是 1、2、{1, 2}，因此 A 共有 3 個元素。內層的 {1, 2} 必須視為一個完整物件，不能拆開後與外層元素重新累加。 關係判斷方法以 A＝{1, 2, {1, 2}} 為例 x ∈ A檢查 x 整個物件是不是 A 的元素。{1, 2} ∈ A 成立，因為 A 直接列有這個集合。 B ⊂ A檢查 B 的每個元素是否都屬於 A。{1, 2} ⊂ A 成立，因為 1、2 都是 A 的元素，且兩集合不相等。 元素個數數最外層彼此不同的完整物件。A 的元素個數是 3，不是 4。 因此，同一個集合可以既是 A 的元素，又是 A 的子集合，兩種關係並不衝突。前者看它是否整包出現在 A 中；後者看它拆開後的每個元素是否都在 A 中。 符號使用上，有些教材以 ⊂ 表示一般子集合，有些則專指真子集合；一般子集合也常寫成 ⊆。遇到左右兩集合不相等，且左側每個元素都在右側時，兩種慣例下都能判定子集合關係成立。 二、子集合個數：每個元素都有選或不選兩種可能 一個集合若有 n 個相異元素，形成子集合時，每個元素都可以「選入」或「不選入」，所以子集合共有 2ⁿ 個，其中包含空集合與原集合本身。 例如 A＝{1, 2, {1, 2}} 有 3 個元素，子集合共有 2³＝8 個。即使其中一個元素本身是集合，選取時仍把它當成一個整體，不改變計算方法。 要特別分清楚 {1, 2} 與 {{1, 2}}：前者有 2 個元素，分別是 1、2；後者只有 1 個元素，就是集合 {1, 2}。空集合沒有元素，但它仍是每個集合的子集合。 三、兩集合容斥：重複計算的部分減一次 設 D 為養狗學生的集合，C 為養貓學生的集合。D ∪ C 表示至少養其中一種的學生，包含只養狗、只養貓，以及兩種都養；D ∩ C 則表示同時養狗與養貓的學生。 |D ∪ C|＝|D|＋|C|－|D ∩ C|移項可得：|D ∩ C|＝|D|＋|C|－|D ∪ C|。 直接把養狗與養貓的人數相加時，兩種都養的人會被算兩次；聯集要求每個人只算一次，因此必須減掉一次交集。 若全班 29 人，而且每人至少養狗或養貓其中一種，聯集人數就是 29。養狗 20 人、養貓 17 人時，同時養兩種的人數為 20＋17－29＝8 人。可再檢查：只養狗有 12 人，只養貓有 9 人，加上兩種都養的 8 人，合計確為 29 人。 「每位學生都有養狗或養貓」是把全班人數當成聯集人數的關鍵。若有人兩種都沒養，聯集便不等於全班，不能直接代入全班人數。 四、九宮格鄰域：邊界縮小範圍，重疊減少聯集 以某座位為中心的九宮格，包含該座位及上、下、左、右與四個斜角位置，但只計入座位表內實際存在的座位。假設座位全部坐滿，單一中心的位置會影響涵蓋人數： 中心位置實際涵蓋範圍含中心的座位數 角落2 × 24 邊上但不是角落2 × 3 或 3 × 26 內部3 × 39 有兩名染疫者時，設兩人的九宮格範圍分別為 N₁、N₂，總涵蓋座位是 N₁ ∪ N₂。重疊座位只算一次，因此總涵蓋數＝|N₁|＋|N₂|－|N₁ ∩ N₂|。 在 5 × 7 的完整座位表中，讓兩人坐在同一邊的角落及緊鄰角落的座位，角落者涵蓋 2 × 2，鄰座者涵蓋 2 × 3；前者範圍完全落在後者之內，所以聯集只有 6 個座位。沿另一個方向安排也可得到相同結果。 為何不能更少？只要有一人不在角落，其鄰域本身就至少涵蓋 6 個座位，聯集自然不會少於 6；若兩人都在不同角落，在此座位表中兩個角落鄰域互不重疊，反而涵蓋 8 個座位。因此最小聯集確為 6。 依題意將染疫者與被匡列者分開計數，這 6 個座位中要扣掉 2 名染疫者，故最少被匡列人數＝6－2＝4 人。作答時應先求範圍聯集，再扣除染疫者，避免漏算或重算。 常考陷阱 把內層集合拆開數，誤判元素個數。大括號內若還有一組集合，該組集合是一個完整元素；應辨認最外層列出的物件，例如 {1, 2, {1, 2}} 是 3 個元素而非 4 個。 認為「屬於」與「子集合」只能擇一成立。兩者判斷層次不同，必須分別檢查，不能因其中一個成立就否定另一個。 把子集合個數寫成 2n，或漏掉空集合、原集合。一般子集合總數為 2ⁿ；只有題目另有限制時才需扣除。 題目問「何者不正確」卻選了正確敘述。集合題選項常同時混有 ∈、⊂、元素個數、子集合個數，應逐一判斷真假後再對照題目要求。 把「或」看成只能二選一。集合的聯集包含同時符合兩項條件者；「至少一種」允許兩種都有。 直接相加得到聯集，忽略交集被算兩次。兩集合人數相加後，須減去一次重複部分；把 20＋17 直接當答案的寫法即屬此類錯誤。 認為九宮格一定有 9 個座位。邊界外沒有座位，角落與邊上的涵蓋範圍都會縮小。 以為兩人分坐不同角落一定最少。除了縮小各自鄰域，還要讓鄰域重疊；相鄰的角落與邊座可使聯集更小。 把最小涵蓋座位數當成被匡列人數。須確認是否包含染疫者；本情境的聯集含兩名染疫者，最後要扣除。 記憶口訣 元素看整包，子集逐個找；n 個元素，子集二次方。 聯集相加減重疊，交集相加減聯集。 九宮先看邊，兩人求重疊；範圍算完後，病者再扣掉。