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學習重點 看懂二次函數 y＝ax²＋bx＋c 中各係數的意義：a 決定開口方向與寬窄，c 決定與 y 軸交點的位置。 掌握「零點就是令 y＝0 所得到的實數解」，並用判別式判斷拋物線與 x 軸的交點個數。 會將二次函數配方成頂點式，判斷對稱軸、頂點、最大值或最小值。 能把開口方向、坐標軸交點及頂點位置互相核對，避免把「交點在負半軸」誤認為「沒有交點」。 核心觀念 一、一般式：先看 a，再看 c 二次函數的一般式為 y＝ax²＋bx＋c，其中a≠0。圖形是拋物線。觀察圖形時，先分辨開口方向，再找出與坐標軸的交點。 觀察項目係數或條件圖形意義 開口向上a＞0頂點是最低點，函數有最小值 開口向下a＜0頂點是最高點，函數有最大值 與 y 軸交於原點上方c＞0交點為（0，c），其縱坐標為正 與 y 軸交於原點下方c＜0交點為（0，c），其縱坐標為負 通過原點c＝0原點同時是與 x 軸、y 軸的交點 為什麼看 c 就能判斷與 y 軸的交點？因為y 軸上的點都滿足 x＝0，代入後得到 y＝c。因此，c 是交點的縱坐標，不是交點的橫坐標。 至於拋物線的寬窄，在相同坐標尺度下，將頂點平移重合後比較，|a| 越大，開口越窄；|a| 越小，開口越寬。a 的正負決定方向，絕對值決定寬窄，兩者不可混為一談。 二、零點與 x 軸交點：令 y＝0 函數的零點，是使函數值等於 0 的 x 值。求 y＝ax²＋bx＋c 的零點，就是解 ax²＋bx＋c＝0。若實數解為 r，則 r 是零點，而（r，0）才是圖形與 x 軸的交點。 不必先求出根，也能利用判別式 D＝b²－4ac判斷交點個數： 判別式方程式的實數解與 x 軸的位置關係 D＞0兩個相異實根有兩個相異交點 D＝0兩個相等實根（重根）只有一個交點，頂點在 x 軸上（相切） D＜0沒有實根沒有交點 對於 y＝ax²＋6x＋c，必須辨認出 b＝6，因此D＝6²－4ac＝36－4ac。若圖形完全沒有碰到 x 軸，就得到 36－4ac＜0；若與 x 軸相切，則 36－4ac＝0；若穿過 x 軸兩次，則 36－4ac＞0。 注意：零點為負數，仍然是實數零點，也仍然有 x 軸交點。「沒有正的零點」與「沒有實數零點」是不同的敘述。 三、配方形式：把頂點與極值看清楚 將一般式配方，可得： y＝a［x＋b／(2a)］²＋c－b²／(4a)。 因此，對稱軸為x＝－b／(2a)，頂點為（－b／(2a)，c－b²／(4a)）。若寫成頂點式 y＝a(x－h)²＋k，則頂點是（h，k），對稱軸是 x＝h。 因為平方項不小於 0，當 a＞0 時，最小值為 k；當 a＜0 時，最大值為 k。頂點縱坐標也可寫成k＝－D／(4a)，所以判別式與頂點位置可以互相驗證。 a＞0、D＜0：最小值仍大於 0，整條拋物線都在 x 軸上方。 a＜0、D＜0：最大值仍小於 0，整條拋物線都在 x 軸下方。 D＝0：頂點縱坐標為 0，拋物線恰好與 x 軸相切。 D＞0：拋物線與 x 軸有兩個相異交點。 例如 y＝ax²＋6x＋c 可配方為 y＝a(x＋3／a)²＋c－9／a，對稱軸是 x＝－3／a。若開口向下，則 a＜0，－3／a＞0，故對稱軸位於 y 軸右側；這可作為讀圖時的輔助檢查。 四、整合讀圖：兩個條件要分開判斷 遇到同時比較 c 與判別式正負的選項，建議依序做兩件事：先看與 y 軸交點的上下位置，再看與 x 軸的交點個數。兩項都符合，選項才成立。 若拋物線開口向下、與 y 軸交於原點下方，表示 a＜0、c＜0；若整條圖形又都在 x 軸下方、完全不碰 x 軸，表示沒有實數零點，因此 D＜0。以一次項係數為 6 的函數而言，便是 c＜0 且 36－4ac＜0。 還可進一步核對：36－4ac＜0 等價於 ac＞9，因此 a、c 必須同號。若已知 c＜0，就能推出 a＜0，與開口向下相符。這是確認條件是否一致的方法，不必實際求出 a、c 的數值。 反過來，若 a、c 異號（例如開口向上但與 y 軸交於原點下方），則 ac＜0，－4ac＞0，D 一定大於 0，圖形必與 x 軸有兩個交點。這也說明：c＜0 時，D 的正負要搭配 a 與圖形才能決定。 a 與 c 的符號判別式 D＝b²－4ac圖形特徵 a、c 異號必定 D＞0y 軸交點與開口方向「相反側」，必穿過 x 軸 a、c 同號D 可正、可零、可負需再看圖形是否碰到 x 軸 常考陷阱 把「開口向下」直接判成 c＜0：開口只決定 a 的正負。開口向下的拋物線仍可能與 y 軸交於原點上方，必須另外觀察交點位置。 把「c＜0」直接判成判別式小於 0：c 只表示 x＝0 時的函數值。即使 c＜0，圖形仍可能與 x 軸有交點，不能由 c 單獨決定根的個數。 看到圖形在 x 軸下方，就認為判別式大於 0：判別式看的是與 x 軸有沒有交點，不是圖形在上方或下方。整條曲線都在下方、完全不接觸 x 軸，應判為 D＜0。 把相切與不相交混淆：相切仍有一個交點，對應 D＝0；完全沒有交點才是 D＜0。 把與兩條坐標軸的求法顛倒：求與 x 軸交點要令 y＝0；求與 y 軸交點要令 x＝0。 漏掉一次項係數的平方：b＝6 時，判別式是 36－4ac，不能寫成 6－4ac，也不能誤用 36＋4ac。 忽略頂點式括號內的符號：y＝a(x－h)²＋k 的頂點橫坐標是 h。例如括號是 x＋3／a，頂點橫坐標便是－3／a。 只核對選項的一半：「c＜0，D＞0」雖符合 y 軸交點的位置，但若圖形沒有 x 軸交點，整個選項仍然錯誤；「c＞0，D＜0」則是 x 軸部分對、y 軸部分錯。兩個條件都要對照圖形。 記憶口訣 「開口看 a，上下看 c；零點令 y 零，交點看判別。」 「判別正，兩交點；判別零，切一點；判別負，不相交。」 「碰 x 軸，y 歸零；碰 y 軸，x 歸零。」