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學習重點 面積是物體表面或平面圖形所占的大小；比較面積，不一定要先算出數值。 掌握直接比較的方法：目視確認包含關係、移動疊合，以及疊合後將突出部分切割重組再比較。 辨別間接比較：無法直接判定大小時，要透過描圖紙、同樣大小的單位或測量結果作為媒介。 判斷「一定得透過間接比較」時，必須同時考慮兩件事：物件能否移動疊合，以及能否目視確認大小關係。 理解移動、旋轉，以及無重疊、無缺漏的切割重組都不改變面積，避免只憑長、寬或外形作答。 核心觀念 一、先釐清：面積比較的是「占多少平面」 面積描述一個表面或平面區域的大小，不是邊界的長短。比較兩本作業本的大小，在面積教學情境中，是比較封面所占的平面大小，不是比較厚度、頁數或重量。 面積大小可以先比較，再測量。只要能確定一個圖形完全被另一個圖形包含，就能判定前者面積不大於後者；若後者還有多出的區域，面積便較大。不必先知道兩者各是多少平方公分。 二、直接比較：利用原圖形本身判定大小 直接比較的重點，是直接觀察或操作要比較的圖形本身，不必另外透過共同媒介或測量數值來判定。 目視比較：當兩個表面的大小差異明顯，能清楚確認其中一個足以容納另一個時，可以直接判斷。這不是憑模糊印象猜測，而是看得出明確的大小或包含關係。 移動疊合：將可移動的圖形平移、旋轉，對齊一角或一邊。如果一個圖形完全落在另一圖形內，另一圖形又有剩餘，就可判定大小。 疊合後切割重組：若疊合後彼此都有突出部分，可以把兩者重疊的部分視為相同，再將各自突出的部分剪下、移動拼組，比較剩下的部分誰大。只要沒有重疊、缺漏或增添，總面積不變。 例如，兩本可以拿起來的作業本，若一本的長與寬都大於另一本，便可藉由疊合直接比較。即使原先擺放方向不同，也可以先旋轉，不必把「目前擺放的方向」當成限制。 直接比較不以「一次疊上去就能看出答案」為限。可操作的長方形圖卡，無論是一張完全蓋住另一張，或一張較長、另一張較寬，都能直接拿原圖卡疊合、剪拼來比較，因此都屬於可以進行直接比較的情形。不能只因原始外形無法完全互相包含，就排除直接比較。 三、間接比較：利用共同媒介建立大小關係 當物件不能移動疊合（例如固定在牆上、嵌在牆壁上、體積大而不便搬動），又無法直接目視確定面積大小時，就需要借助媒介或測量，進行間接比較。 方式操作與判斷重點 複製表面作為媒介用紙描出或複製原物表面的形狀與大小，再移動紙形進行比較。紙形必須忠實保留原表面的大小。 使用共同面積單位以相同大小的方格或紙片鋪排兩個表面，根據所需的單位數比較；鋪排須無重疊、無空隙。 測量後計算測得長方形的長、寬，使用一致的長度單位，依「長×寬」求得面積後比較。 要注意：把描下來的紙形拿去疊合，雖然操作中有「疊合」，但相對於原來的固定物件，仍是透過紙形這個媒介進行間接比較。判斷時要看比較的對象與媒介關係，不能只看動作名稱。 四、「一定要間接比較」的判斷步驟 遇到教學活動選擇題，依序檢查： 能否移動原物？作業本、圖卡等可拿起來疊合、剪拼者，可直接比較。 不能移動時，能否目視判定？把兩個長方形都轉成「長邊對長邊、短邊對短邊」來看：若一者的長邊、短邊都明顯較大，可直接目視判定；若一者長邊較大、另一者短邊較大（互有長短），且面積相近，就看不出來。 兩項都不行，才是一定得透過間接比較。 不能移動，不代表一定不能直接比較。 情境特徵判斷關鍵比較方式 物件可移動，且一者可完全蓋住另一者可以直接操作原物，確認包含與剩餘區域直接比較 圖卡可操作，但疊合後各有突出部分仍可剪下突出部分重組比較，利用面積不變性直接比較 物件固定，但並列且長、寬都明顯較大能目視確認一者的表面足以容納另一者直接比較（目視），不必間接 物件固定或不便移動，長、寬互有長短，面積接近無法疊合，也沒有清楚的包含關係一定得間接比較 例如，教室裡的兩塊白板不便拿下來疊合，若一塊較寬、另一塊較高，面積又相近，目視無法判定；嵌在牆上的兩幅壁畫，即使把其中一幅的長寬方向轉過來看，仍是一長一寬互有優勢，同樣需要借助媒介或測量。相反地，固定且並列的公佈欄，若一個在長與寬上都明顯大於另一個（例如長、寬都約為三倍），直接看就知道誰大，不能僅憑「固定在牆上」就選為必須間接比較。 五、教學目標決定布題是否適切 若目標是「學生透過間接比較，比出兩物面積大小」，適切活動應讓學生有使用媒介的必要：原物不能移動疊合，且目視無法確定大小，才能凸顯描圖、鋪排或測量的功能。 「可以用間接比較」與「一定得用間接比較」不同。容易疊合的作業本，也可以測量後計算；但既然直接比較已能解決，就不符合「一定得透過間接比較」的限制，也無法達成以間接比較為目標的教學。 常考陷阱 「固定的物件都必須間接比較」：忽略了目視比較。固定只是限制移動；若大小差異十分明確，仍可直接判斷，所以選項中把大小懸殊的固定物也列入「一定間接」者是錯的。 「可移動的圖形只要無法完全疊合，就不能直接比較」：忽略疊合後剪拼突出部分的方法。只要能操作原圖形，就屬於直接比較。 「可移動的就一定要間接比較才能教」：作業本這類能拿起疊合、且一者完全蓋住另一者的物件，直接比較即可，不是「一定得間接」。 「較長的長方形，面積一定較大」：面積同時受到長、寬影響。一長一短時，不能只挑其中一條邊決定。 「只看題目寫的邊長順序」：尺寸可能把長、寬順序寫反，要先旋轉成長邊對長邊再判斷是否互有長短。 「看起來比較大就算目視比較」：目視必須能清楚判定大小關係；兩個表面長、寬互有優勢且面積相近時，直覺外觀不足以支持結論。 「有尺寸就一定要乘法計算」：題目考的是比較方式。應先判斷能否直接比較，不要算出面積後就忽略情境條件。 「用紙形疊合就是原物的直接比較」：若紙形是替代固定表面的媒介，對原物而言仍屬間接比較。 「剪開後面積就改變」：切割只改變形狀；各部分完整保留，且拼組時不重疊、不缺漏，總面積維持不變。 記憶口訣 「先看包含，再試疊拼；原物難比，媒介來比。」 「能動就疊，懸殊就看；不能動又互有長短，才要間接。」