103年 - 103 國立嘉義大學_光電暨固態電子碩士班招生考試試題_電子物理學系：工程數學(II)-微分方程#146054

1. 求以下一階一次常微分方程式之通解：(25 分)

\[ xdy - [y + xy^3(1 + \ln x)]dx = 0 \]
其中 \( \ln x \) 為自然對數函數。

2. 求解以下高階線性微分方程：(25 分) \[ y'' - 2y' + y = 4\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) + 4\cos^2 x. \]

3. 求解以下微分方程之初值問題：(25 分) \[ x^2 y'' - xy' + y = x(\ln x) \] 其中 \( y(1) = 0 \) and \( y'(1) = 0 \) 且 \( \ln x \) 為自然對數函數。

4. 求解以下 Sturm-Liouville 邊界值問題之特徵值與特徵函數：(25 分) \[ (xy')' + \frac{\lambda}{x} y = 0, \quad y(1) = y(e) = 0, \quad \text{其中 } e \text{ 為自然指數常數}。 \]