104年 - 104 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#145003

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} =$ __________ 。 

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x =$ __________ 。

2. 求經過曲線 $3(x^2 + y^2)^2 = 100xy$ 上點 P(3, 1) 之切線方程式為何？ __________ 。

3. 何謂微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）？ __________ 。

4. 平面上給定一點 P(0, 2)，試在函數 $y = f(x) = 4 - x^2$ 的圖形上找一點 Q，使 P與 Q 兩點的距離最短 __________ 。

5. 求兩曲線：$y = f(x) = x^3$，y = g(x) = x所圍成的區域之面積為何？ __________ 。

6. $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx = \ln(p)$，則 p = __________ 。

7. 求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x)^{2015} \, dx =$ __________ 。

8. 設 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^2 + bx}{x^{2n} + 1}, -1 \leq x \leq 1$。若 f 為連續函數，則數對 (a, b) = __________ 。

9. 求 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\cos(4x^2 + 4y^2) - 1}{(x^2 + y^2)^2} =$ __________ 。

10. 求 $\int_1^3 \int_x^{x^2} 6 \, dy \, dx =$ __________ 。

 (a) 判斷 f 在 x=1 處是否可微分(differentiable)？為什麼？（5 分）

(b) 並求 $\int_0^2 f(x) \, dx = ?$ （5 分）

(a) 請求出 f(x) 的局部極值，與所有漸近線之方程式。（6 分）

(b) 並畫出 y = f(x) 的圖形。（4 分）

3. (a) 將 $f(x) = \ln(x)$ 表為在點 x=1 展開的 Taylor 級數。（5 分）

(b) 利用(a)的結果，求無窮級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^n}{n 3^n}$ 的和。（5 分）

4. 求 $\int_0^\infty x e^{-2x} \, dx = ?$ （10 分）