所屬科目：研究所、轉學考(插大)-微積分
(a) $\lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.
(b) $\lim_{x\to0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1+x)}\right)$.
(c) $\frac{d}{dx} (1+x^2)^x$.
(a) 請問 f(x) 在 x=0 是否連續？請說明理由。
(b) 請問 f(x) 在 x=0 是否可微？請說明理由。
(a) $\int \frac{1}{(x+2)^2(x^2+1)} dx$.
(b) $\int_0^{\infty} x^3 e^{-4x} dx$.
(c) $\int_0^3 x^{[x]} dx$, 其中 [x] 為小於或等於 x 的最大整數。
(a) 求出 $f(x,y) = \frac{xy+x}{x+y}$ 的所有臨界點 (critical points)，並討論各臨界點的特性 (例如為鞍點或是具相對極大/小值)。
(b) 求\( \int_{0}^{6} \int_{y/3}^{2} e^{-x^{2}} dx dy \)
(a) 請寫出 f(x) 在 x=0 的泰勒展式 (Taylor series)。
(b) 請利用(a)以6 次泰勒多項式估計下列積分 $\int_0^3 \ln(1+x^2) dx$。
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