114年 - 114 國家安全情報特種考試_三等_電子組（選試英文）：工程數學#127780

1 設 3 × 3 矩陣 ，若 ，問系統 Ax = b 有幾組解？
 (A)唯一解 (B)無解 (C)無限多解 (D)解空間維度為 2 

2 由三個向量 所展開（span）的向量空間，其維度（dimension）為何？
 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 

3 關於矩陣的描述，下列何者正確？
 (A) A 的秩數（rank）為 2 (B) 0 為 A 的特徵值 (C) A 為可逆（invertible）矩陣 (D) A 為正定（positive definite）矩陣

4 設矩陣 ，則特徵多項式為何？
 (A) λ³-3λ²+3λ-1 (B)λ³+3λ2+3λ+1 (C)λ³+λ²+λ+1(D)λ³-λ²+λ-1

5 下列那個向量屬於矩陣 的零空間（null space）？
 (A)(B) (C)(D)

6 下列關於二次型（quadratic form） Q ( x₁ , x₂ ) 4x₁²+12x₁x₂+9x₂²的性質，何者正確？
(A) Q 為正定（positive definite） (B) Q 為負定（negative definite） (C) Q 為半正定（positive semi-definite） (D) Q 為半負定（negative semi-definite）

7 設矩陣 ，若 ，則 k =?
 (A)7 (B) 14 (C)2 (D)1 

8 矩陣 ，請求 =?
 (A) (B) (C) (D)

9 設矩陣,則 =?
(A)(B)(C)(D)ln(e²+e³+e⁴ )

10 下列那一個複變函數是「可解析的（analytic）函數」？
(A) y + ix (B) x²+y²+ 2ixy (C) (D)

11 設 ，則其在 |z |< 1 的羅倫級數（Laurent series）展開式前兩項為？
 (A) (B)(C)(D)

12 考慮複變函數 f ( z ) = tan z ，請求 f ( z ) 在 z₀ = π / 2 的餘數（residue），  (A)0 (B)1 (C)2 (D) -1

13 求微分方程式 ( x²+y² )dy + (2 xy + cos x )dx = 0 之解？
 (A)(B)(C) (D)

14 關於常微分方程式 的特徵方程式與特徵根，下列何者正確？
(A)特徵方程式為 λ⁴+λ³-λ²+λ=0 (B) λ= 0 為其中一個特徵根 (C) λ=-1 為其中一個特徵根 (D) λ=1 為其中一個特徵根

15 考慮常微分方程式 ，下列何者非其齊次解（homogeneous solution）？
 (A)(B) (C)(D)

16 考慮原始函數 f ( x) =3x+2 ，及其衍生之傅立葉級數（Fourier series）函數
f₁ (x) = f (x) 在 x ε [0, 1] 區間之傅立葉級數（Fourier series）

f₂ (x) = f (x) 在 x ε [0, 1] 區間之傅立葉正弦級數（Fourier sine series） 

f₃ (x) = f (x) 在 x ε [0, 1] 區間之傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series） (A) f₁(0)=f₂(0) (B)f₁(0)=f₃(0) (C) f₁(1)=f₂(0) (D)f₁(0.5)=f₃(0.5)

17 考慮一偏微分方程式 ; x ∈ [0, 1] ， t ≥ 0 。 則下列何者不是齊次 邊界條件（homogeneous boundary condition）？

 (A)(B)(C)(D)

18 設 為 f (t ) 的傅立葉轉換（Fourier transform），求= ？ (i = √-1)
(A)(B) F ( w - 2) - F ( w +2)  (C) 2 F ( w - 2) + 2 F ( w + 2) (D) F ( w - 2) + F ( w + 2)

19 一工廠生產 60%正常品，40%瑕疵品。品檢員判定正確率為 90%，誤判率為 20%。隨機取出一件產品，判定為「正常」，則實際正常的機率為何？(A)(B)(C)(D)

20 有三個獨立且相同分布（independent, identically distributed, i.i.d.）之隨機變數 { X₁ , X ₂ , X ₃ } ，皆為常態分布（normal distribution），期望值為，標準差為 。令 ，其期望值為，標準差為 ，其期望值為 ，標準差為。下列何者正確？  (A)(B)(C)(D)

一、試求常微分方程式之通解。

二、試以拉普拉斯轉換法（Laplace Transform）求解下列具初值條件之聯立常
微分方程式 特
解。

三、 Y 為二階方形矩陣與 I₂ 為二階單位矩陣 ， 試求矩陣方程式之矩陣之矩陣Y 解。

四、試以剩值定理（Residue Theorem）求
之值。

五、X 為一隨機變數（Random variable），其機率密度函數（probability density function）為，，σ>0，-∞<x<∞。試求其期
望值（Expected value）， E{ X² + 4X + 2} 。