115年 - 115 高等考試_二級_醫學工程：工程數學#145825

一、試求常微分方程式 \( y''+2y'+2y = 4e^{-x}\sec^3 x \)之通解。 （20 分）

二、試以拉普拉斯轉換（Laplace Transform）求積分方程式\(y(t) + \int_{0}^{t} y(\tau) \cosh(t-\tau) d\tau = 2t + 2e^t, t \ge 0.\) 之解。  （10 分）

 (一)求 \(\oint_C \frac{10z}{(z^2-1)(z+3)} dz\) 之值。

(二)求\( \oint_{C} \frac{\frac{d}{dz}\left(\ln\left(\frac{10z}{(z^2-1)(z+3)}\right)\right)}{dz} dz \)之值。 

(一)試求其對角化矩陣（Diagonal Matrix）。（5 分）

(二)試求\(e^{At}, t>=0\)。（10 分） 

 (一)試求其旋度（Curl）值與散度（Divergence）值。

(二)試求其面積分\( \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dA \)，其中 n 為 dA 指向外的法線方向單位向量， S 且此有界封閉曲面的表示式為 \(S: x^2 + y^2 = 4, -2 \le z \le 2\) 。

 (一)試求 k 值。

(二)試求其邊際平均值（Marginal Mean），E{Z}。

(三)試求其期望值（Expected Value），E{X³Y²Z}。