115年 - 115 自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試試題：數學科#147567

1. 已知某班科目的平均數、標準差與甲生分數如下表，相對於全班，甲生哪 一科表現比較好？
(A) 國文 (B) 英文 (C) 數學 (D) 物理

2. 某店家販售 4 種便當、3 種飲料與 2 種水果，假設便當、飲料與水果都各 選一份，總共有多少種餐點組合？ (A) 9 (B) 12 (C) 20 (D) 24

3. 求 yx = 2sin(3x−4) +5 的振幅。 (A) 2 (B) 3 (C)2π (D) 7

4. 已知 \( \vec{a} = (-4, -3) \)、\( \vec{b} = (1, 7) \) ，且 \( \vec{a} \) 與 \( \vec{b} \)的夾角為 θ ，求 cosθ 。 (A)\( \frac{-\sqrt{2}}{2} \) (B)\( \frac{1}{2} \) (C)\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)(D)\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

5. 下列哪一個數最大? (A)\( \log_{\frac{1}{3}} 5 \) (B) log₃ 4 (C)\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} \) (D) log₄ 9

6. 星星的「視星等」y 與其「亮度」x 之間的關係為函數\( y = -\frac{5}{2} \log \left( \frac{x}{a} \right) \)，其中 a 是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為−2.5 ，試問：該星的亮度 為織女星亮度的多少倍？ (A) √10 (B)100 (C)10 (D)\( \frac{1}{100} \)

7. 擲一粒公正骰子兩次，在兩次出現的點數和為質數的條件下，求兩次點數相乘為奇數的機率。 (A) 0 (B)\( \frac{1}{15} \) (C)\( \frac{1}{9} \) (D)\( \frac{1}{4} \)

8. 已知 \( \vec{k} = (3, 4) \)，若 \( \vec{u} \) 與 \( \vec{k} \) 平行且 \( |\vec{u}| = 1 \)，則 \( \vec{u} \)可能為下列哪一個選項？ (A) ( −1,0)  (B)\( \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) \)(C) (0,1) (D) (4,3)

9. 請找出通過點 ( 1,2) − 且與\( x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0 \)圖形相切的直線方程式。 (A)\( x - 2y + 5 = 0 \) (B) \( x + 2y - 3 = 0 \) (C)\( 2x - y + 4 = 0 \) (D)\( 2x + y = 0 \)

10. 三次函數\( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x - 2 \)，則 f(x) 的對稱中心(反曲點)為何？ (A)(0,0) (B)(1,1) (C)(−1,0) (D) (1,0)

11. 擲一均勻骰子三次，若每出現一次偶數點得 5 元， 一次奇數點得 1 元，則 所得總額之期望值為多少元？ (A)10 (B)9 (C)8 (D)7

12. 空間坐標系中，已知 A(3,4,5) ，請問下列選項何者正確？ (A) A 點到原點的距離為 5 (B) A 點到 x 軸的距離為√41 (C) A 點到 xy 平面的距離為 7 (D) A 點對 yz 平面的對稱點為 (3, 4, 5)

1. 已知 x 為實數，則 xx + + − 45 的最小值為______。

2. 在坐標平面上，已知 A( 1, 2) −− 、B(1,2)、Ct (2, ) 三點共線，則 t 值 為______。

3. 已知數列 n  a 滿足1123 ( 2) nn a a a n −  =   = ，則1 2 3 4 5 a a a a a + + + + 的值 為______。

4. 已知 P 為圓22 C x y x y : 6 8 0 + − − = 上的動點，試求 P 點到直線 L x y : 4 3 36 0 + + = 的最短距離為______。

5. 在 ABC 中，已知  =  A 45 ， =  B 60 ，BC = 2 ， 試求 AC 的長度為______。

6. 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，試問：甲與乙不相鄰的排法有______種。

7. 已知扇形面積為40 ，圓心角為144 ，則此扇形的半徑為______。

8. 擲一個均勻的硬幣 10 次，則恰在第 6 次出現第 3 次正面的機率為______。

9. 設 ab, 為正實數，且 ab = 32 ，則 ab + 2 的最小值為______。

10. 已知多項式 fx() 除以 x +1 的餘式為 6，除以 x − 3 的餘式為−2， 則 fx() 除以 ( 1)( 3) xx +− 的餘式為______。