115年 - 115 身心障礙學生升學大專校院甄試試題_大學組：數學 B#139485

1. 假設球形地球儀上有甲、乙、丙、丁共四個點，經緯度如下：
甲：西經30度，北緯45度；
乙：西經120度，北緯80度；
丙：東經0度，北緯70度；
丁：東經60度，北緯60度。
試問從哪一個點出發，沿著經線往北走到北極點的路徑長最短？(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁

2. 某次小考考卷有是非題和選擇題兩種題型，滿分為100分。考試結束後，老師以是非題每題4分，選擇題每題6分，計算得全班同學成績的平均分數為84分，是非題的平均分數為36分。但老師後來發現是非題和選擇題的題分看錯了，更正後的是非題每題是3分，選擇題每題是7分，依更正後的題分，試問全班同學成績的平均分數為何？(A)82(B)83(C)84(D)85

3. 已知兩個公差皆不為0的實數等差數列an、bn，滿足_a1=b₅且a₅=b25。若<a_n>的公差是<b_n>公差的k倍，則k值為何？(A)-5(B)-1/5(C)1/5(D)5

4. 已知平面上兩向量的夾角為，且|=12、||=3。若垂直，則r的值為何？(A)(B)-2(C)2(D)

5. 令實係數多項式f(x)=(x²+1)(x+a)，若f(x)除以x²+x+1所得的餘式為2x+1，則f(-1)的值為何？(A)-4(B)-3(C)1(D)2

6. 平面上有一三角形ABC，已知=20、∠BAC=115°、∠ABC=45°，試問線段的長度可表示為下列哪一個選項？(A)(B)(C)(D)

7. 坐標平面上有O(0,0)、A(-3,4)、B(0,5)、C(4,3)共四點。若直線OA、直線OC分別與直線y=5交於D、E兩點，則的值為何？(A)1(B)(C)(D)

8. 令A為二階實數方陣，若會是下列哪一個選項？(A)(B)(C)(D)

9. 某產品今年第1個月至第5個月的出貨量依序為12、17、20、26、30噸。公司記錄該產品第x個月與出貨量y噸的資料並觀察關係，得到最適直線（迴歸直線）y=mx+b。試問斜率m的值最接近下列哪一個選項？
（註：二維數據(X,Y):(x₁,y₁),(x₂,y₂),...的光罩，(x1-μX)(y1-μY)+(x2-μX)(y2-μY)+...+(xn-μX)(yn-μY)
，最適直線（迴歸直線）方程式y-μ_Y=r_X,Y(x-μ_X)。其中μ_X,μ_Y分別為x₁,x₂,...x_n與y₁,y₂,...y_n的算術平均數，σ_X,σ_Y分別為x₁,x₂,...x_n與y₁,y₂,...y_n的標準差。）(A)-3(B)2.5(C)4.5(D)6

10. 若a、b為兩實數，log(ab)=10且1 <ab¹⁰<10(A)0 (B) (C)(D)1<b<10

11. 會場設置A、B兩個變色燈泡，這兩個燈泡的閃燈顏色皆依綠黃紅的順序持續做週期性的變換。A的秒數為綠35秒，黃5秒，紅40秒；B的秒數為綠40秒，黃25秒，紅25秒。某人在時間為10點0分0秒時，發現A、B兩燈同時由紅燈轉為綠燈，而當時間為10點8分t秒時，他發現A、B皆為紅燈。假設燈泡顏色轉換的時間極短可被忽略，試問實數t的值可能為何？(A)5(B)20(C)30(D)45

12. 畫家用單點透視法在長方形畫布上畫位於前方置於地面的物體，畫家的眼睛離地面160公分，眼睛與畫布水平距離為50公分。畫布的頂端離地面170公分、底部離地面110公分。現在畫家發現該物體的底部A點在畫布上的位置恰位於畫布中心，試問A點與畫家站立點的距離為多少公分？(A)150(B)200(C)350(D)400

13. 令a、b為兩個非零實數。若，則的值為何？(A)1(B)(C)2(D)3

14. 某老師設計一抽獎遊戲，將分別標有獎金100元、200元、300元的卡片各一張及兩張空白的卡片放入不透名袋。遊戲規則為從袋中隨機抽取一張卡片，抽後不放回，每次抽牌時，每張卡片被抽中的機率均相同。若抽中有獎金的卡片，則遊戲結束並可得該卡片的獎金；若抽中空白卡片，則從剩下的卡片再抽一張，重複操作直到抽中有獎金的卡片為止。試問某生參加此遊戲，得到獎金的期望值為何？(A)140(B)200(C)250(D)300

15. 研究機構欲估計某區域的兔子數量。已知兔子最初的數量為24隻，5年後總數變成240隻，假設兔子的數量每年呈指數成長，且該區域土地面積為2400萬平方公里，若經過N年後（在N為整數），在每平方公里土地上兔子數量的平均值達到10萬隻，試問N的最小值為何？(A)10(B)11(C)50(D)55

16. 假設某社群軟體中，任意兩人之間只有「朋友」跟「互不認識」兩種關係。例如A、B、C三人之間的交友關係為：A與B是「朋友」，C與A、B均「互不認識」。今有甲、乙、丙、丁四人使用此社群軟體，已知甲與乙為「互不認識」。試問這四人之間的交友關係總共有多少種？(A)5(B)16(C)32(D)63

17. 坐標平面上，設直線L的斜率為m，-2 (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

18. 某校內趣味競賽透過兩輪比賽決定「優勝」的班級：第一輪先贏兩場者，即晉級第二輪，第二輪先贏三場者，即為優勝，且每場比賽均有勝負沒有和局。若依序記錄優勝班級的各場次比賽勝敗，例如（勝勝勝勝勝）、（勝敗勝勝敗勝勝）為獲得優勝的其中兩種可能紀錄。試問獲得優勝的可能紀錄總共有幾種？(A)12(B)13(C)15(D)30

19. 設實數數列<a_n>的首項為1。令，已知數列<b_n>是一個首項與公比都是的等比數列。試問a₅的值為何？(A)2²(B)(C)2⁵(D)

20. 某公司舉辦摸彩。在一不透名箱中放入一顆標示「乘2」，以及標有數字「5」和數字「1」的球各一顆。參加者共抽4次，每次抽取1球，主持人記錄每次抽中球的標示，並將球放回箱中，參加者再抽下一次。抽完4次後，依如下的方式計算分數：
先求出這4次抽中球的數字總和，每多一顆「乘2」的球，分數就乘2倍。
例如4次的紀錄為「5、乘2、1、乘2」，則分數為(5+1)×2×2=24；紀錄為「乘2、乘2、乘2、乘2」，則分數為0。若分數等於8，則可得到獎品。假設每次每顆球被抽中的機率均相等，試問某甲參加此摸彩得到獎品的機率為何？(A)(B)(C)(D)