96年 - 96 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：機率論#147982

(i) 試證f(x)確實為一p.d.f.,

(ii) 求$Y = X_{\lambda}^2$之p.d.f., 並決定此為那一常見分佈,

(iii) 求$\lambda \to \infty$時, $X_{\lambda}$之極限分佈,

(iv) 令$\Phi(x; \lambda) = P(X_{\lambda} \leq x), x \in R$。試證$\Phi(x; 1) = (\Phi(x))^2, x \in R$。

(i) 給定$X_{(k)} = a, 0 < a < 1, X_{(1)}, \cdots, X_{(k-1)}$之條件分佈,

(ii) 給定$X_{(k)} = a, 0 < a < 1, E(X_{(j)} - X_{(i)})$, 假設$k \leq i < j \leq n$。

(i) $E([X]) \leq E(X)$是否必成立？

(ii) $\text{Var}([X]) \leq \text{Var}(X)$是否必成立？

(i) $P(A_i) = (1 - 1/n)^r, E(N_n) = n(1 - 1/n)^r, \text{Var}(N_n) = n(n - 1)((1 - 2/n)^r - (1 - 1/n)^{2r}) + n((1 - 1/n)^r - (1 - 1/n)^{2r})$;

(ii) 若r與n有關, 且$n \to \infty$時, $r/n \to c$, 則$n \to \infty$時, $E(N_n/n) \to e^{-c}$, 且$N_n/n$機率收斂(converges in probability) 至$e^{-c}$。

5. 設隨機數列$\{X_n, n \geq 1\}$機率收斂至隨機變數X。試證存在子一數列$\{n_k, k \geq 1\}$, 使得$k \to \infty$時, $\{X_{n_k}, k \geq 1\}$幾乎確實地收斂(converges almost surely)至X。